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surge la pregunta más importante. Cómo determinamos x1? Utilizaremos
el proceso de iteración mediante una calculadora científica: Para
ello colocaremos a x3 + cx + d =0 en la forma x(x2 + c) =-d ; y seguiremos la
siguiente secuencia de calculo. Primeramente
haremos un examen visual de la
expresión y apreciaremos el orden que debe tener x1 , dependiendo de
c y d < teclear valor < ingresar en
memoria < elevar al
cuadrado < sumar c < igual < multiplicar < llamar memoria < igual comparar
el valor obtenido con – d. Corregir
el valor x1 , de manera de ir obteniendo una convergencia hacia –d. Con
un poco de práctica, en pocos minutos se puede obtener un buen resultado. Si
contamos con una calculadora programable la secuencia anterior, puede servir de
base para un programa de cálculo, el cual una vez incorporado nos resolverá el
problema rápidamente y con la exactitud requerida. Obtenida
x1, la reemplazamos en las expresiones que determinan x2
y x3 ; y habremos resuelto la ecuación totalmente. Algo
de destacar es que cuando hicimos el desarrollo x1x2 –(x1
+ x2)2 = c debido a que x1+x2 =-x3
:. x1x2 – x23 = c. Haciendo una
rotación de índices obtenemos las expresiones adicionales:
x1x3- x22=
c x2x3 – x21
= c Para
verificar este aserto, tomamos el caso x1 = 2 ; x2 = 4;x3
=-6 ; que corresponde a la ecuación y=x3 –28x +48=0. Si
reemplazamos adecuadamente los valores
de x1 , x2 y x3 en dichas expresiones, siempre
obtendremos c=-28. Pero esto no solo es válido para este ejemplo con valores
reales, sino también cuando existen raices complejas conjugadas lo cual lo
podrá verificar el lector curioso, que se decida hacerlo. Una
vez obtenidos x1, x2 y x3 convienen hacer una
verificación rápida, para ver si no se ha cometido un error. Para
ello, lo más conveniente es constatar si se cumplen las condiciones: x1
+x2 +x3 =0 ; x1x2x3= -d. La
verificación definitiva, vendrá cuando sé reemplazen x2 y x3,
en la ecuación y se cumpla la condición
y=0 Para
el caso de que tengamos la ecuación completa y=x3 +bx2
+cx + d=0 y no querramos reducirla mediante el cambio de variable que antes
mencionamos, seguiremos el siguiente procedimiento A
partir de la condición x1 + x2 + x3 = - b
establecemos:
x1 =--b/3 +A x2 =-b/3 – A/2 + B = - (b/3 +A/2 ) +B x3 = -b/3 – A/2 – B = - (b/3 + A/2) -B De la primera expresión obtendremos que A= x1 +b/3.
(-b/3 +A)(- +B)( -
-B)=-d :.
Se puede llegar a estas mismas expresiones a partir del siguiente
esquema: Sea y= x 3+bx2+cx+d=0 , x1+x2+x3=-b
, x1.x2.x3=-d x3=
-(b+x1+x2) o x1x2(b+x1+x2)
= x1x2b+x12x2+x1x2
2= d x2b+x1x2+x22 = d/x1 ; x2(b+x1)+x22 = d/x1; x22+(b+x1)x2 – d/x1 = 0
Para obtener x1, seguiremos el procedimiento de iteración , para lo cual colocamos
la ecuación en la forma x (x2
+ bx + c )= -d. En este caso la secuencia de
calculo será: F teclear valor F ingresar en memoria F elevar al cuadrado F sumar F abrir paréntesis F llamar memoria F multiplicar por b F cerrar paréntesis F sumar c F igual F multiplicar F llamar memoria F igual Repetir la secuencia variando x , hasta obtener una adecuada
convergencia de – d . Una vez obtenida x1 ; calculamos A y B para
finalmente obtener x2 y x3. ü Resumen: þ Ecuación de segundo grado y =x2 + bx + c= 0 þ x= - b/2 ± iÖc
-b2/4 þ Ecuación cúbica reducida y=x3 + cx + d =0
x1 =x1
x1 se determina por el proceso de iteracion descripto,
utilizando una calculadora científica þ Ecuación cúbica completa y= x3 + bx2 +cx
+d= 0
x1 = -b/3 + A
x2 = - b/3 +
A/2 +B
x3 = - b/3
+ A/2 -B
A= x1 +b/3 ; B= ± Ö d/x1 + [( b+x1)/2)] 2 x1 se determina por
el proceso de iteración descripto , utilizando una calculadora científica, por
lo que puede resumirse en :
x1 = x1
ü Reemplazando
en las expresiones x2x3
- x12 = c x1x3
- x22 = c x1x2
- x32 = c obtendremos siempre la identidad
c=c, lo que explica la cualidad permutativa de las expresiones
mencionadas Juan Claudio Caso Ingeniero Aeronáutico Resolución de ecuaciones algebraicas,
con coeficientes reales, de grado n
artiremos
del hecho que: Un polinomio de grado n
puede descomponerse en un producto de n factores de primer grado, según
la siguiente relación: y = xn+bxn-1+c
xn-2+..........+z = (x-x1)(x-x2)(x-x3)+.......+(x-xn),
donde x1,x2,x3, .......xn, son las
raíces de la ecuación que se obtiene al
igualar al polinomio a cero (0). Realizando
el producto e identificando cada termino, podemos encontrar la relación que
existe entre cada coeficiente y las raíces. Pero
hemos verificado que no resulta necesario realizar el producto, ya que la ley
de formación de los coeficientes es muy sencilla, más fácil de visualizar y
entender, que de enunciar. No
obstante hemos intentado algo al respecto. Lo que debemos considerar es: · Si la ecuación
es de grado n, todos los términos tienen dimensión de xn, de manera
que uno de ellos donde figure x n-m, el coeficiente tendrá dimensión
xm De tal manera dicho coeficiente estará formado por la suma de
factores de grado m, integrado por la combinación de raíces agrupadas de a m · El coeficiente
b siempre será igual a la suma de las raíces, cambiada de signo. El término
independiente siempre será igual al producto de las raíces. Si la ecuación es
de grado par, el signo será positivo, si es de grado impar será negativo. Los
coeficientes intermedios tendrán alternativamente signos positivos y negativos. · -Sí partimos de
n =1, el único factor que existirá será (x-x1), lo cual nos dará y=x-x1.
Si a partir de aquí escribimos sucesivamente en orden creciente de n, las ecuaciones
algebraicas, tendremos: y= x-x1 y=x2-(x1+x2)x+x1x2 y=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3 y=x4-(x1+x2+x3+x4)x3+(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)x2- (x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4)x+(x1x2x3x4) Para
la ecuación de 5to grado encontraremos que los coeficientes valen: B=-(x1+x2+x3+x4+x5) Ë=(x1x2+x1x3+x1x4+x1x5+x2x3+x2x4+x2x5+x3x4+x3x5+x4x5) D=-(x1x2x3+x1x2x4+x1x2x5+x1x3x5+x1x4x5+x1x3x4+x2x3x4+x2x3x5+x2x4x5+x3x4x5) E=(x1x2x3x4+x1x2x3x5+x1x2x4x5+x1x3x4x5+x2x3x4x5) F=-(x1x2x3x4x5) v Otra relación
que hemos encontrado es que toda ecuación con grado n par tendrá n/2 pares de raíces conjugadas, reales o
complejas. v Si todas las
raíces son complejas, el proceso de iteración no será posible, y si lo
intentamos no lograremos la convergencia hacia el valor del termino
independiente cambiado de signo. Por el momento hemos resuelto el problema para la ecuación de cuarto
grado. v Si la ecuación
es de grado n impar, siempre habrá por lo menos una raíz real, y el resto
serán(n-1)/2 pares de raíces conjugadas
reales o complejas. Se podrá hacer una iteración y determinar x1;
con lo cual si dividimos a la ecuación por (x-x1), obtendremos otra
de un grado inferior. Por el momento hemos resuelto ecuaciones de quinto grado, ya que con el
procedimiento mencionado obtenemos una de cuarto grado, susceptible de ser
resuelta, según pasamos a detallar. Sea la ecuación algebraica: Y = x4+Bx3+Ë x2+Dx+e=0,
las raíces posibles serán:
Nos detendremos a analizar el primer caso, en que todas las raíces son complejas conjugadas, y que no permiten la iteración numérica. Las relaciones que tendremos como consecuencia de reemplazar los
valores de x1, x2, x3 y x4 en los
respectivos coeficientes serán: a+c= B/2; Ë =(a2+b2)
+ (c2+d2) +4ac -D/2= (a2+b2)c+(c2+d2)a; e=
(a2+b2)(c2+d2). La ventaja que tiene esta notación es que siempre trabajaremos con
valores reales, independientemente de que las raíces, sean complejas o reales.
-D/2=(a2+b2)c + (c2+d2)a e=(a2+b2).(c2+d2)\eac=(a2+b2)c.(c2+d2)a,
ac Ë -BD/8 -4 (ac) 2 2 :. (a2 + c2 -2ac) ( D2/16 – eac) = ac Ë - BD/8 - 4
(ac)2 2 pero
( a+ c )2 = B2/4
:. a2 + c2 +2ac =
B2/4 :.
(a
c ) 2 Ë2 + (BD)2/ 64 + 16
(ac)4 + 2 BD(ac)2/2 - ( ac) Ë BD/8 – 4 Ë (ac)3 = (BD)2/64
– (ac) D2/4 - B2
e(ac)/4 + 4e(ac)2
16
(ac)4 – 8 (ac) 3 Ë + (ac)2 Ë2
-4e + BD +(ac) B2
e/ 4 + D2 /4 -Ë BD/4 = 0 ; Luego
baja un Exponente y pasa a ser una ecuación cúbica
16
(ac)3 – 8 (ac) 2 Ë +(ac) Ë 2 - 4e +BD + (B2e + D2 - Ë BD)/4 = 0 :.
(ac)3 -Ë /2 (ac) 2 +(ac)/16 Ë 2 -4e +BD
+ (B2e + D2 -Ë BD)/64 =0 Como a+c =- B/2 :. a= -(B/2 +c) :. (ac)=-
Bc/2 –c2:.c2 +Bc/2 + (ac) =0 :.
Conocidos a y c de las expresiones de Ëy e calculamos (a2+b2)
y (c2+d2), finalizando con el calculo de b y d, con lo
que finalmente se determina el valor de las raíces. De las verificaciones
hechas y de los desarrollos efectuados, surge que la ecuación cubica, con la
que se determina (ac), es común para cualquier tipo de ecuación cuártica, ya
sea que tenga raíces reales o complejas conjugadas. Conviene
agregar, que como Ë -4ac=(a2+b2)+(c2+d2)=(a2+b2)+e/(a2+b2)
\ (a2+b2).(Ë- 4ac)= (a2+b2)+e
\ (a2+b2)2
+ (4ac-Ë)(a2+b2)+e=0
Ejemplo: Sea
la ecuación y=x5+x4+x3+x2+x-1=0 \x(x4+x3+x2+x+1)=1,
por iteración determinamos que x1=0.5087 Haciendo la división: (x5+x4+x3+x2+x-1)/(x-0.5087)=
x4+1.5087x3+1.7675x2+1.899x+1.966 \ y=x4+1.5087x3+1.7675x2+1.899x+1.966=0
Con B=1.5087; Ë=1.7675;
D=1.899; e=1.966 Si
aplicamos estos valores a la expresión:
(ac)3
–0.88375 (ac)2 –0.1172 (ac) +0.047=0 :.
(ac)
(ac)2-0.88375(ac)-0.1172=-0.047; iterando encontramos que
(ac)1 =0.9549.
Con este valor calculamos (ac)2
;(ac)3 = - b+(ac)1
/2 ±Ö [ b+(ac)1]
2 /4+d/(ac)1:.
(ac)3 = -0.26075, valores que
podemos comprobar, cumple con la ecuación cúbica auxiliar.
Por el momento no he analizado que
significado tienen los restantes valores de (ac).
a= - 1.5087/4 + Ö 0.14226+0.260275 = 0.25728
; c= - 1.011635
ahora
calcularemos (a2+b2);(c2+d2)= -(4ac
- Ë)/2 ±Ö(4ac -Ë) 2/4
e :. c= -1.011635
(a2+b2) = 1.4043 + Ö1.972 – 1.966 =
1.482 (c2 +d2) = 1.3265 Finalmente calculamos b y d
d= ± Ö1.3265 –(1.011635)2
= ± 0.5505, con lo
cual las cinco raíces son:
Verificación rápida: x1x2x3x4x5=x1(a2+b2)(c2+d2)=0.5087(0.257282+1.192)(1.0116352+0.55052)=
1 = -f x1+x2+x3+x4+x5=x1+2(a+c)=0.5087+2(0.25728-1.011635)=
-1= -B (de la ecuación quinta) Para la verificación completa y la definitiva
, hay que reconstruir el resto de los coeficientes. City Bell 6 de septiembre de 1997 Juan Claudio Caso Ingeniero Aeronáutico Análisis Crítico del Método Propuesto Si
bien el método queda oscurecido ante la potencia resolutiva del programa ”Mathematica”
, utilizable en P.C., aún mantiene su validez para el caso de estudiantes y
estudiosos de las ecuaciones algebraicas, así como para los profesionales que
ocasionalmente carezcan del programa mencionado y de una P.C. pero si cuenten
con una calculadora científica. Yendo
al tema en si, sabemos que su aplicación numérica esta restringida al caso de
las ecuaciones que poseen raíces reales, no pudiendo determinarse las raíces
complejas, salvo el caso de la ecuación de 2º grado cuya resolución es ya
conocida, y las de 3er y 4to grado, para las cuales hemos desarrollado un
procedimiento “ad hoc”. Dado que una ecuación de grado
impar, puede factorearse en una raíz real, y una ecuación de grado par, las
ecuaciones de grado par, que posean mas de cuatro(4) raíces complejas(2 pares),
constituyen el verdadero límite del presente método, por lo que centramos
nuestro análisis en las ecuaciones de grado par. Comenzando, con la ecuación de 2º
grado, sabemos que el análisis, de su discriminante nos dice si el par de
raíces, son reales o complejas. En el caso de la ecuación de 4º grado, esta
determinación esta relacionada intimamente con su resolución, y para las ecuaciones de grado superior, ya
no puede determinarse a priori, que cantidad de pares de raíces complejas y/o
reales, vamos a tener. Luego si no podemos hablar de certeza, bien podemos recurrir al concepto de
probabilidad. Volvamos
entonces a la ecuación de segundo grado. Esta tiene dos posibilidades, que en
nuestra notación serán:
Si a la probabilidad de que una
ecuación de 2º grado tenga dos raíces reales la llamamos Pr, y a la
probabilidad de que tenga dos raíces complejas Pc; tendremos Pr+Pc=1. Como existen infinitas ecuaciones
con raíces complejas, así como infinitas ecuaciones con raíces reales, dado que
los dos números son iguales, sus probabilidades respectivas también lo serán,
luego Pr=Pc
:. 2Pr=2Pc=1:. Pr=Pc=0.5; resultado de por sí obvio. Para
el caso de la ecuación de 4to grado, las posibilidades serán:
Es
decir que tendremos (3) posibilidades, y siguiendo un razonamiento análogo al
que hicimos anteriormente para la ecuación de segundo grado, cada una de ellas
tendrá la probabilidad de (1/3)=0.333......... Si
llamamos n al numero de pares de
raíces, y pp a la
probabilidad de cada posibilidad, generalizando tendremos la relación: pp=1/(n+1) . Ahora
sucede que nosotros estamos en condiciones de resolver ecuaciones que tengan un
máximo de (4) cuatro raíces complejas. Yendo
al caso de la ecuación de sexto grado(6º), vemos que tendrá cuatro(4)
posibilidades(n+1), de las cuales(3) tres tienen como máximo (4) cuatro raíces
complejas, que son resolubles. Luego la relación entre ambas posibilidades nos
da la probabilidad de resolver una ecuación de 6ºgrado, a saber Pr=3/4=0.75 Generalizando
tenemos que: Pr=3/(n+1) Con
estas definiciones podemos construir la siguiente tabla, la que nos dá una idea de cómo varía la
estructura de la ecuación en función de su grado, y del campo de validez de
nuestro método.
Queremos
resaltar, que en el caso de las raíces reales, la estructura de la raíz queda
enmascarada por la estructura del numero, a diferencia del caso de las raíces
complejas, en que esta estructura resulta evidente. Al
unificar la nomenclatura para expresar las raíces encontramos como ventaja, una
mejor comprensión de su estructura, y también resulta que los casos como las
raíces múltiples y reciprocas, pasan a ser meros casos particulares. Cabe
destacar que en las raíces, los pares de raíces, pasan a ser pares que podemos
llamar virtuales, en que las raíces,
pueden permutar posiciones, sin alterar el manejo algebraico que de
ellas se haga. Resumen: Hasta
ecuaciones de 5to grado, el método propuesto es superior a los
métodos de Horner y de Newton, ya que
permite la determinación de raíces complejas, por lo que resulta equiparable al
método de Gräffe. ·
Para ecuaciones de grado mayor al 5to, sigue
superando a los métodos de Horner y Newton, ya que permite resolver ecuaciones
con un máximo de (4) cuatro raíces complejas, y resulta inferior al método de
Gräffe. ·
No se conoce al algoritmo (método) que emplea el
programa Mathematica,
lo cual seria interesante conocer. ·
El método posee tres contribuciones a saber: a)
Para el caso de la ecuación cubica, establece que
dos de las raíces, son función de una tercera. b)
Establece que en las ecuaciones de grado par, las
raíces se presentan de a pares, ya sean complejas conjugadas o reales. Las
ecuaciones de grado impar se pueden factorear en una raíz real, y una ecuación
de grado par a la que se le aplican las consideraciones anteriores. c)
Establece el concepto de dimensión de los
coeficientes y del termino independiente. Considero
que el presente trabajo es un punto de partida, para que alguien con más
capacidad y mejores conocimientos, indague sobre las ecuaciones algebraicas,
pues creo que pese a su aparente sencillez, aun no se ha dicho la última
palabra sobre ellas. City
Bell, Enero de 1999. Juan
Claudio Caso Ingeniero
Aeronáutico  Intercambio de enlacesMás sitios recomendados Si quiere figurar en la sección de enlaces recomendados e intercambiar enlaces con Alipso.com contáctese |
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