La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.

Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de 1°, desde 0° a 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes.

El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nq y cos nq, en función de potencias de senq y cosq.

Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos.

Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.

Quién era Hiparco de Nicea

Hiparco de Nice fue astrónomo griego, el más importante de su época. Hiparco nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precesión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. Hiparco inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.

Quién era Tolomeo

Tolomeo, Claudio fue un astrónomo y matemático cuyas teorías y explicaciones astronómicas dominaron el pensamiento científico hasta el siglo XVI (véase Sistema de Tolomeo). También se reconocen sus aportaciones en matemáticas, óptica y geografía. Posiblemente, Tolomeo nació en Grecia, pero su nombre verdadero, Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que realmente se sabe de él: 'Ptolemaeus' indica que vivía en Egipto y 'Claudius' significa que era ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de que vivió y trabajó en Alejandría, Egipto, durante la mayor parte de su vida.

Tolomeo también contribuyó sustancialmente a las matemáticas a través de sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol. En su Tetrabiblon, aplicó la astronomía a la astrología y la creación de horóscopos.

Quién era Euler.

Euler, Leonhard fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.

En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).

Quien era John Napier

Napier o Neper fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y durante su estancia allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia y años más tarde tomó parte activa en los asuntos políticos promovidos por los protestantes. Es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.

Napier es más conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, descrito en Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614). Los sistemas comunes y naturales de logaritmos que se utilizan actualmente no usan la misma base que los logaritmos de Napier, aunque a los logaritmos naturales a veces se les denomina logaritmos neperianos. Napier fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática. También inventó sistemas mecánicos para realizar cálculos aritméticos, descritos en Rabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo (1617).

Como Eratóstenes midió el radio de la Tierra

 Erastótenes de Cirene, un griego del siglo III a. de J.C., calculó por primera vez el radio de la Tierra con una exactitud extraordinaria para los métodos de que disponía.

La idea de su cálculo es muy sencilla: si se toman dos puntos, A y S, sobre un mismo meridiano y se puede medir el ángulo a y la distancia l medida sobre el arco AS del meridiano que pasa por los dos puntos, aplicando una sencilla regla de trescalculó el radio de la Tierra

Lo difícil, por supuesto, era determinar el ángulo a y la distancia.

Erastótenes eligió, como punto S, una ciudad del sur de Egipto llamada Siena. Allí había un profundo pozo cuyo fondo iluminaba el Sol un mediodía de verano. El punto A era Alejandría, ciudad situada en el mismo meridiano que Siena. El Sol no caía vertical, sino separándose de la plomada un ángulo que valía 1 / 50 de la circunferencia.

Utilizando probablemente el tiempo de viaje de una caravana o, tal vez, medidores expresamente contratados para ello, determinó que la distancia entre Alejandría y Siena era de 926 km. Por tanto, el radio de la Tierra debía ser: bastante aproximado a los 6.378 km que revelan las mediciones más modernas.

¿Quién era Eratóstenes?

Fue matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Midió la circunferencia de la Tierra con una precisión extraordinaria al determinar, a través de la astronomía, la diferencia de latitud entre las ciudades de Siena (actual Asuán) y Alejandría, en Egipto. Nació en Cirene (en la actualidad Shahhat, Libia). Entre sus maestros se encontraba el poeta griego Calímaco de Cirene. Hacia el 240 a.C., Eratóstenes llegó a ser el director de la Biblioteca de Alejandría. Sus cálculos sobre la circunferencia terrestre se basaron en la observación que hizo en Siena, su ciudad natal; a mediodía, en el solsticio de verano, los rayos del sol incidían perpendicularmente sobre la tierra y, por tanto, no proyectaban ninguna sombra (Siena estaba situada muy cerca del trópico de Cáncer). En Alejandría se percató de que en la misma fecha y hora las sombras tenían un ángulo de aproximadamente 7° con respecto a la vertical. Al conocer la distancia entre Siena y Alejandría, pudo hallar a través de cálculos trigonométricos la distancia al Sol y la circunferencia de la Tierra. Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición voluntaria.

Distancia a las estrellas.

Paralaje trigonométrico

El paralaje es una palabra de origen griego que significa cambio de posición.

Con la siguiente experiencia se comprueba el efecto del paralaje. Colocando el dedo pulgar a unos 25 cm por delante de los ojos y situándose a 1 m de distancia de la pared. Tapando con la mano un ojo cada vez se ve que la posición del dedo pulgar respecto de la pared cambia .

El paralaje es el responsable del movimiento aparente del dedo pulgar respecto de la pared.

Este movimiento aparente depende de la longitud de la base o distancia entre los ojos y de la distancia a la que se encuentre el dedo de nosotros. Cuanto más alejado esté el objeto que miramos, mayor será la longitud de la base que habrá que tomar para que el ángulo de paralaje sea apreciable.

El paralaje es el método más antiguo que se aplicó para calcular la distancia a las estrellas. El método consiste en trazar sendas visuales; una, por ejemplo en enero, y la otra, seis meses más tarde, en julio. Como estas observaciones están separadas 2 UA (la UA es la distancia media de la Tierra al sol), la estrella E se ve desde un punto con un ángulo diferente del ángulo con el que se ve desde otro punto.

Con estas dos observaciones se puede construir un triángulo rectángulo de base 1 UA (1 UA = 149.597.840 Km) y ángulos también conocidos. La altura D de este triángulo es la distancia estelar que buscamos.

Teniendo esto en cuenta y que un año-luz equivale a 9.460.528.400.000 km, podemos escribir:

Esta expresión nos permite calcular las distancias estelares. La primera distancia estelar calculada por este procedimiento la hizo el alemán Friefrich Wilheim Bessel (1784-1846), en 1838, para la estrella 61 Gygni.

Quién era Friefrich Wilheim Bessel

Bessel fue un astrónomo y matemático alemán, nacido en Minden, conocido principalmente por realizar la primera medición precisa de la distancia de una estrella. Nació en Minden. Bessel supervisó la construcción del observatorio de Königsberg y fue su director desde 1813 hasta su muerte. Estableció el sistema uniforme para calcular las posiciones de las estrellas que todavía se utiliza actualmente. Desde 1821 hasta 1833, determinó con precisión las posiciones de estrellas de hasta la novena magnitud, elevando el número de estrellas catalogadas a 50.000. Sus Observaciones astronómicas fueron publicadas en 1842. Bessel fue el primero en determinar el paralaje, y por tanto, la distancia de una estrella fija, 61 Cygni, proporcionando así la confirmación definitiva de la teoría por la que el Sol y no la Tierra es el centro del Sistema Solar. También determinó el diámetro, el peso y la elipticidad (o desviación de la forma de una esfera real) de la Tierra. En la investigación de problemas relacionados con perturbaciones planetarias ,introdujo en matemáticas las funciones de Bessel como solución a ciertas ecuaciones diferenciales. Las funciones son de gran importancia para determinar la distribución y el flujo del calor o la electricidad a través de un cilindro circular, y para la solución de problemas relacionados con el movimiento ondulatorio, la elasticidad y la hidrodinámica.

¿Qué es pi?