Índice de contenidos.
Temas Página
Trigonometría 3
Trigonometría
plana 4
Funciones
trigonométricas 6
Igualdades
trigonométricas 9
Funciones
inversas 11
El
triángulo general 11
Trigonometría
esférica 12
Historia 14
Quién
era Hiparco de Nicea 17
Quién
era Tolomeo 17
Quién
era Euler 18
Quién
era John Napier 19
Cómo
Eratóstenes midió
el
radio de la tierra 20
Quién
era Eratóstenes 21
Distancia
a las estrellas 22
Quién
era Bessel 23
Qué
es Pi 24
Aplicaciones
de Pi 25
Historia
de Pi 27
Cómo
se presenta Pi 27
Pi
calculado a 10000 nº 28
Bibliografía
31
Autores
32
Trigonometría
Rama de las
matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de
triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas
de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría
plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría
esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la
superficie de una esfera.
Las primeras
aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la
geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una
distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia
que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la
trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las
ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como
el sonido o el flujo de corriente alterna.
Trigonometría plana
El concepto
trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un
ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB
(figuras 1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio
OB gira hasta su posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se
generan con un radio que
gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación
es en el sentido de las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son
iguales si sus rotaciones son de igual magnitud y en la misma dirección.
Una unidad
de medida angular se suele definir como la longitud del arco de circunferencia,
como s en la figura 2, formado cuando los lados del ángulo central (con vértice
en el centro del círculo) cortan a la circunferencia.
Si el arco s
(AB) es igual a un cuarto de la circunferencia total C, es decir, s = 3C, de
manera que OA es perpendicular a OB, la unidad angular es el ángulo recto. Si s
= 1C, de manera que los tres puntos A, O y B están todos en la misma línea
recta, la unidad angular es el ángulo llano. Si s = 1/360 C, la unidad angular
es un grado. Si s = YC, de manera que la longitud del arco es igual al radio
del círculo, la unidad angular es un radián. Comparando el valor de C en las
distintas unidades, se tiene que
1
ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180 grados = p radianes
Cada grado
se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto se divide en
60 partes iguales llamadas segundos. Si se quiere mayor exactitud, se utiliza
la parte decimal de los segundos. Las medidas en radianes menores que la unidad
se expresan con decimales. El símbolo de grado es °, el de minuto es ' y el de
segundos es ". Las medidas en radianes se expresan o con la abreviatura
rad o sin ningún símbolo. Por tanto,
Se
sobreentiende que el último valor es en radianes.
Un ángulo
trigonométrico se designa por convenio con la letra griega theta (q). Si el
ángulo q está dado en radianes, entonces se puede usar la fórmula
s = rq para calcular la longitud del arco s; si q viene dado en
grados, entonces
Funciones trigonométricas
Las
funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud
de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas
rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y
su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
En la figura
3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que
forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden
ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se
encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero
si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre
positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.
Las seis
funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:
Como la x y
la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden
360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco
funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas
de las otras tres, es decir,
Si el punto
P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x
es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el
conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como
90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es
0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y
-180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no
puede ser igual a 0.
Como r es
siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían
entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier
valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o
igual que -1.
Como se ha
podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones
trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo
función del ángulo.
Si q es uno
de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones
de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se
explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de
los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje
x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r =
a/c, y así sucesivamente:
Los valores
numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener
con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que
q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2=
b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tanto
Los valores
numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden
hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal utilizando
la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es
fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los
valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los
valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las
igualdades que se mencionan en el siguiente apartado.
Igualdades trigonométricas
Las
siguientes fórmulas, llamadas igualdades o identidades, muestran las relaciones
entre las diversas funciones trigonométricas, que se cumplen para cualquier
ángulo q, o pareja de ángulos q y f:
Utilizando
con reiteración una o más fórmulas del grupo V, conocidas como fórmulas de
reducción, es posible calcular el seno de q y el coseno de q, para cualquier
valor de q, en función del seno y del coseno de ángulos entre 0° y 90°.
Utilizando las fórmulas de los grupos I y II, se pueden calcular los valores de
la tangente, cotangente, secante y cosecante de q en función del seno y del coseno.
Por tanto, es suficiente tabular los valores del seno y el coseno de q para
valores de q entre 0° y 90°. En la práctica, para evitar cálculos tediosos, se
suelen también tabular las otras cuatro funciones para los mismos valores de q.
Sin embargo, desde la popularización de las calculadoras electrónicas y los
ordenadores o computadoras, las tablas de funciones trigonométricas han caído
en desuso.
La variación
de los valores de las funciones trigonométricas para diversos ángulos se pueden
representar gráficamente (ver figuras adjuntas). Se puede ver con claridad en
estas curvas que todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir,
el valor de cada una se repite a intervalos regulares llamados periodos. El
periodo de todas las funciones, excepto la tangente y la cotangente, es 360° o
2p radianes. La tangente y la cotangente tienen un periodo de 180° o p
radianes.
Funciones inversas
La expresión
'y es el seno de q,' o y = sen q, es equivalente a la expresión q es el ángulo
cuyo seno es igual a y, lo que se escribe como q = arcsen y, o también como q =
sen-1y. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccotg y, arcsec y, y
arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresión y = sen q o q = arcsen
y, un valor dado de y genera un número infinito de valores de q, puesto que sen
30° = sen 150 ° = sen (30° + 360°)…= 1. Por tanto, si q = arcsen 1, entonces q
= 30° + n360° y q = 150° + n360°, para cualquier entero n positivo, negativo o
nulo. El valor 30° se toma como valor principal o fundamental del arcsen 1.
Para todas las funciones inversas, suele darse su valor principal. Hay
distintas costumbres, pero la más común es que el valor principal del arcsen y,
arccos y, arctg y, arccosec y, arcsec y y arccotg y, para y positiva es un ángulo
entre 0° y 90°. Si y es negativa, se utilizan los siguientes rangos:
El triángulo general
Entre las
diversas aplicaciones prácticas de la trigonometría está la de determinar
distancias que no se pueden medir directamente. Estos problemas se resuelven
tomando la distancia buscada como el lado de un triángulo, y midiendo los otros
dos lados y los ángulos del triángulo. Una vez conocidos estos valores basta
con utilizar las fórmulas que se muestran a continuación.
Si A, B y C
son los tres ángulos de un triángulo y a, b, c son los tres lados opuestos
respectivamente, es posible demostrar que
Las reglas
del coseno y de la tangente tienen otras dos expresiones que se obtienen
rotando las letras a, b, c y A, B, C.
Estas tres
relaciones son suficientes para resolver cualquier triángulo, esto es, calcular
los ángulos o lados desconocidos de un triángulo, dados: un lado y dos ángulos,
dos lados y su correspondiente ángulo, dos ángulos y un ángulo opuesto a uno de
ellos (que tiene dos posibles soluciones), o los tres lados.
Trigonometría
esférica
La
trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía,
estudia triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de
circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo
esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos, los tres lados
a, b, c, y los tres ángulos A, B y C. Sin embargo, los lados de un triángulo
esférico son magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de
circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo
central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres
elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana,
hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo que se pueden
utilizar para calcular los elementos desconocidos.
La
trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección
estereográfica y en la geodesia. Es también el fundamento de los cálculos
astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se
utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la
posición de una estrella y otras magnitudes.
Ejemplo de problema:
Trigonometría
y cálculo de la altura de un edificio
Para hallar
la altura, H, de un edificio se miden la distancia desde el punto de
observación a la base del edificio, D, y el ángulo q (theta) que se muestra en
el dibujo. El cociente entre la altura H y la distancia D es igual a la
tangente de q (H/D = tg q). Para calcular H se multiplica la tangente de q por
la distancia D (H = D tg q). El ángulo se puede calcular aproximadamente
señalando con un brazo la base del edificio y con el otro el tejado y estimando
si el ángulo es más o menos 15º, 30º, 45º, 60º o 75º. El ángulo se puede medir
con mayor exactitud utilizando un transportador de ángulos y una plomada (hecha
con un lápiz que colgaremos de un hilo). Se sujeta la plomada en el origen del
transportador y se apunta con la base de éste hacia l tejado del edificio. El
ángulo buscado es 90º menos el formado por el hilo de la plomada.
Historia
La historia
de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto
y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados,
minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no
empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el
astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver
triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con
incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los
lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta
tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor
de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo
Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico
sexagesimal (base 60) de los babilonios.
Tolomeo
incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas
con incrementos angulares de 1°, desde 0° a 180°, con un error menor que
1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de
cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla
para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los
conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao
para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría
fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que
Tolomeo los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema
trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos.
Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era
una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo
rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos
valores para ésta en sus tablas.
A finales
del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las
tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función
seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y
las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas
fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos.
Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que
produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes
también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos
estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para
medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que
era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica.
Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por
ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de
1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones.
Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura
transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como
ciencias matemáticas independientes.
El occidente
latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de
libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El
primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el
matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el
siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como
Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como
proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés
François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y
encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nq y
cos nq, en función de potencias de senq y cosq.
Los cálculos
trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John
Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También
encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas
proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos
oblicuos.
Casi exactamente
medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton
inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo
de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando
series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para
el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del
cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde
todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como
en las aplicadas.
Por último,
en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones
trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los
números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la
trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números
complejos.
Quién era Hiparco de
Nicea
Hiparco de
Nice fue astrónomo griego, el más importante de su época. Hiparco nació en
Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus
investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado
científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció
gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros
astrónomos, Hiparco descubrió la precesión de los equinoccios .Sus cálculos del
año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen
de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. Hiparco inventó
un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y
longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas.
También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la
trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
Tolomeo,
Claudio fue un astrónomo y matemático
cuyas teorías y explicaciones astronómicas dominaron el pensamiento científico
hasta el siglo XVI (véase Sistema de Tolomeo). También se reconocen sus
aportaciones en matemáticas, óptica y geografía. Posiblemente, Tolomeo nació en
Grecia, pero su nombre verdadero, Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que
realmente se sabe de él: ’Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ’Claudius’
significa que era ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de
que vivió y trabajó en Alejandría, Egipto, durante la mayor parte de su vida.
Tolomeo
también contribuyó sustancialmente a las matemáticas a través de sus estudios
en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y
relojes de sol. En su Tetrabiblon, aplicó la astronomía a la astrología y la
creación de horóscopos.
Quién era Euler.
Euler, Leonhard fue un matemático suizo, cuyos trabajos
más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de
estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad
de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años.
En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del
profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado
catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de
matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia,
Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció
hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes
de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler
produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y
científicas.
En su
Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer
tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la
trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de
series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes
infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. También abordó las superficies
tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante
la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban
del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números
imaginarios y álgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque principalmente
era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la
óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo
diferencial (1755), Instituciones del
cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
Napier o
Neper fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo.
Estudió en la Universidad de San Andrés y durante su estancia allí fue seguidor
del movimiento de la Reforma en Escocia y años más tarde tomó parte activa en
los asuntos políticos promovidos por los protestantes. Es autor de la primera
interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Napier es
más conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, descrito en
Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614). Los sistemas comunes y
naturales de logaritmos que se utilizan actualmente no usan la misma base que
los logaritmos de Napier, aunque a los logaritmos naturales a veces se les
denomina logaritmos neperianos. Napier fue uno de los primeros, si no el
primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones
decimales de una forma sistemática. También inventó sistemas mecánicos para
realizar cálculos aritméticos, descritos en Rabdologiae seu numerationis per
virgulas libri duo (1617).
Como Eratóstenes midió el radio de la Tierra
Erastótenes de Cirene, un griego del siglo III a. de J.C., calculó
por primera vez el radio de la Tierra con una exactitud extraordinaria para los
métodos de que disponía.
La idea de su cálculo es muy sencilla: si se
toman dos puntos, A y S, sobre un mismo meridiano y se puede medir el ángulo a
y la distancia l medida sobre el arco AS del meridiano que pasa por los dos
puntos, aplicando una sencilla regla de trescalculó el radio de la Tierra
Lo difícil, por supuesto, era determinar el
ángulo a y la distancia.
Erastótenes eligió, como punto S, una ciudad
del sur de Egipto llamada Siena. Allí
había un profundo pozo cuyo fondo iluminaba el Sol un mediodía de verano. El
punto A era Alejandría, ciudad situada en el mismo meridiano que Siena. El Sol
no caía vertical, sino separándose de la plomada un ángulo que valía 1 /
50 de la circunferencia.
Utilizando probablemente el tiempo de viaje
de una caravana o, tal vez, medidores expresamente contratados para ello,
determinó que la distancia entre Alejandría y Siena era de 926 km. Por tanto,
el radio de la Tierra debía ser: bastante aproximado a los 6.378 km que revelan
las mediciones más modernas.
¿Quién era
Eratóstenes?
Fue
matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Midió la
circunferencia de la Tierra con una precisión extraordinaria al determinar, a
través de la astronomía, la diferencia de latitud entre las ciudades de Siena (actual
Asuán) y Alejandría, en Egipto. Nació en Cirene (en la actualidad Shahhat,
Libia). Entre sus maestros se encontraba el poeta griego Calímaco de Cirene.
Hacia el 240 a.C., Eratóstenes llegó a ser el director de la Biblioteca de
Alejandría. Sus cálculos sobre la circunferencia terrestre se basaron en la
observación que hizo en Siena, su ciudad natal; a mediodía, en el solsticio de
verano, los rayos del sol incidían perpendicularmente sobre la tierra y, por
tanto, no proyectaban ninguna sombra (Siena estaba situada muy cerca del
trópico de Cáncer). En Alejandría se percató de que en la misma fecha y hora
las sombras tenían un ángulo de aproximadamente 7° con respecto a la vertical.
Al conocer la distancia entre Siena y Alejandría, pudo hallar a través de
cálculos trigonométricos la distancia al Sol y la circunferencia de la Tierra.
Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje
terrestre) con un error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente
perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de
geografía general. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición
voluntaria.
Distancia a las estrellas.
Paralaje trigonométrico
El
paralaje es una palabra de origen griego que significa cambio de posición.
Con la siguiente experiencia se comprueba el efecto del paralaje. Colocando
el dedo pulgar a unos 25 cm por delante de los ojos y situándose a 1 m de
distancia de la pared. Tapando con la mano un ojo cada vez se ve que la
posición del dedo pulgar respecto de la pared cambia .
El paralaje es el responsable del movimiento
aparente del dedo pulgar respecto de la pared.
Este movimiento aparente depende de la
longitud de la base o distancia entre los ojos y de la distancia a la que se
encuentre el dedo de nosotros. Cuanto más alejado esté el objeto que miramos,
mayor será la longitud de la base que habrá que tomar para que el ángulo de
paralaje sea apreciable.
El
paralaje es el método más antiguo que se aplicó para calcular la distancia a
las estrellas. El método consiste en trazar sendas visuales; una, por ejemplo
en enero, y la otra, seis meses más tarde, en julio. Como estas observaciones
están separadas 2 UA (la UA es la distancia media de la Tierra al sol), la
estrella E se ve desde un punto con un ángulo diferente del ángulo con el que
se ve desde otro punto.
Con estas dos observaciones se puede
construir un triángulo rectángulo de base 1 UA (1 UA = 149.597.840 Km) y
ángulos también conocidos. La altura D de este triángulo es la distancia
estelar que buscamos.
Teniendo esto en cuenta y que un año-luz
equivale a 9.460.528.400.000 km, podemos escribir:
Esta expresión nos permite calcular las
distancias estelares. La primera distancia estelar calculada por este
procedimiento la hizo el alemán Friefrich Wilheim Bessel (1784-1846), en 1838,
para la estrella 61 Gygni.
Quién era Friefrich Wilheim Bessel
Bessel fue un astrónomo y matemático alemán,
nacido en Minden, conocido principalmente por realizar la primera medición
precisa de la distancia de una estrella. Nació en Minden. Bessel supervisó la
construcción del observatorio de Königsberg y fue su director desde 1813 hasta
su muerte. Estableció el sistema uniforme para calcular las posiciones de las
estrellas que todavía se utiliza actualmente. Desde 1821 hasta 1833, determinó
con precisión las posiciones de estrellas de hasta la novena magnitud, elevando
el número de estrellas catalogadas a 50.000. Sus Observaciones astronómicas
fueron publicadas en 1842. Bessel fue el primero en determinar el paralaje, y
por tanto, la distancia de una estrella fija, 61 Cygni, proporcionando así la
confirmación definitiva de la teoría por la que el Sol y no la Tierra es el
centro del Sistema Solar. También determinó el diámetro, el peso y la elipticidad
(o desviación de la forma de una esfera real) de la Tierra. En la investigación
de problemas relacionados con perturbaciones planetarias ,introdujo en
matemáticas las funciones de Bessel como solución a ciertas ecuaciones
diferenciales. Las funciones son de gran importancia para determinar la
distribución y el flujo del calor o la electricidad a través de un cilindro
circular, y para la solución de problemas relacionados con el movimiento
ondulatorio, la elasticidad y la hidrodinámica.
¿Qué es pi?
p=3.141592653589793238462643383279502884197169399365105820974944592307816406808998628034823421170679821480865132823066470938446095905822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819628810975665933446728475648237867831652
Pi, letra griega (p), es el símbolo para la relación
detransformación de la circunferencia de un círculo
de diámetro (2pr). Es aproximadamente 22/7 y se calcula
generalmente a 3 dígitos, 3,14. Con el uso de
ordenadores, el pi ha estado calculado
concluido a 51 mil millones de decimales. El pi es un
significado del número irracional que
relanzará infinitamente sin relanzar. El símbolo para pi, p, primero
fue utilizado en 1737 por Guillermo Jones,
pero sera popular después de que fuera adoptado por el
matemático suizo Leonhard Euler en 1737.
Euler dio el primer tratamiento analítico
completo de la
álgebra, de la teoría de ecuaciones, de la
trigonometría, y de la geometría analítica. Él también trabajó con
cálculo y es variaciones, teoría del número, y números
imaginarios.
Aplicaciones de pi
Pi tiene muchas
aplicaciones útiles y es muy fácil de utilizar. Con pi, se puede calcular la
circunferencia o el área de un círculo, de la esfera, del cono, o de cualquier
polígono con una dimensión de una variable circular
La secuencia 314159
reaparece en la extensión decimal del pi en el lugar 176451. Esta secuencia
aparece 7 veces en primeros 10 millones de lugares (no incluyendo la derecha en
el comienzo)
Pi no tiene que
ser escrito en decimales, el binario de pi (lenguaje de programación básico)
es:
11,0010010000111111011010101000100010000101101000110000100011010011
El pi ocurre en
centenares de ecuaciones en muchas ciencias incluyendo ésos que describen la
hélice del doble del ADN, un arco iris, ondulación que se separa de donde una
gota de agua cayó en el agua, ecuación gravitacional del campo de Einstein, la
distribución normal, los problemas de la geometría, ondas, navegación.
Se puede hacer
porciones más materia con pi cuando
está en formato binario - como trazar cuadros
extraños de ella, o aún escuchar ella. Pues pi tiene un número infinito de lugares, es absolutamente posible que cualquier mensaje se pudiese oír en alguna parte en el pi.
Incluso se ha sugerido que contiene la VOZ DE DIOS. En el libro ‘ contacto ‘ de
Carl Sagan los lugares del pi (en la base 11) se encuentran para contener un
mensaje de los seres que construyeron el universo.
Satan no aparece
en el pi demasiado rápidamente: La primera vez que aparece ‘ 666 ‘ está en la
posición
2440
Los dígitos del
pi aparecen ‘ al azar ‘ pero describen algo esencial para el universo. La
secuencia de dígitos ha pasado hasta ahora todas las pruebas sabidas para la
aleatoriedad.
Pi es un número
‘ transcendental ‘. Esto significa que no es la solución a ningún polinomio
finito con coeficientes del número entero. Esta es la razón por la cual es
imposible ajustar el círculo
Lo siguiente es
todo casi p:
101/2
Raíz cúbica de
31
666/212
(97 + 9/22)1/4
9/5 + (9/5)el ½
(19 (7))/ 16 del
½
(2)el ½ + (3)el
½
1,1 x 1,2 x 1,4
x 1,7
(296/167) 2
Historia de pi
Cerca de 1650
A.C., los egipcios utilizaron pi = 3 pero mejoraron esto (22 / 7). También
utilizaron(256/81), según lo mostrado en el Rhind egipcio Papyrus.
Otra referencia
sabida de pi está en un desfile medio del papyrus del reino, escrito alrededor
de la misma época de los egipcios por Ahmes el escribano.
En alrededor 200
A.C. Archimedes de Syracuse encontró que el pi estaba en medio (223 / 71) y (22
/7). Su error no era no más de 0,008227 %
Cómo se presentó p:
El símbolo p
primero fue utilizado en 1706 por el matemático Guillermo Jones english pero
llegó a ser popular cuando Leonhard Euler lo adoptó en 1737
Linea de tiempo
de cuántos dígitos de pi se han calculado:
1699: Resultados
usados sostenidos de Gregory para conseguir 71 dígitos
1701: Machin
consiguió a 100 dígitos
1719: de Lagny
encontró 112 dígitos
1789: Vega
acheived 126 dígitos
1794: Vega podía
calcular 136 dígitos correctamente
1841: Rutherford
caclculated 152 dígitos
1853: Doce años
más adelante, Rutherford podía conseguir 440 dígitos
1873: La asta
consiguió al lugar 707, pero 527 de ellos eran incorrectos
1949: Los
ordenadores estupendos fueron utilizados para calcular a 2000 lugares
1991: Los
hermanos Chudnovsky en Nueva York calculaban 2.260.321.363 lugares decimales
Hoy dia pi ha sido calculado a 51 billones
de digitos con potentes ordenadores.
Pi calculado a 10.000 dígitos:
3.1415926535
8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899
8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461
2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726
0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360
0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173
8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176
2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091
7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611
2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951
0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873
1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909
2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529
6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 4541506959 5082953311
6861727855 8890750983 8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012
8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 9448255379 7747268471
0404753464 6208046684 2590694912 9331367702 8989152104 7521620569 6602405803
8150193511 2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279 6782354781
6360093417 2164121992 4586315030 2861829745 5570674983 8505494588 5869269956
9092721079 7509302955 3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356
6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000 8164706001 6145249192
1732172147 7235014144 1973568548 1613611573 5255213347 5741849468 4385233239
0739414333 4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542 5688767179
0494601653 4668049886 2723279178 6085784383 8279679766 8145410095 3883786360
9506800642 2512520511 7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863
0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287 4677646575 7396241389
0865832645 9958133904 7802759009 9465764078 9512694683 9835259570 9825822620
5224894077 2671947826 8482601476 9909026401 3639443745 5305068203 4962524517
4939965143 1429809190 6592509372 2169646151 5709858387 4105978859 5977297549
8930161753 9284681382 6868386894 2774155991 8559252459 5395943104 9972524680
8459872736 4469584865 3836736222 6260991246 0805124388 4390451244 1365497627
8079771569 1435997700 2774155991 1973568548 1613611573 5255213347 5741849468
4385233239 0739414333 4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542
5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383 8279679766 8145410095
3883786360 9506800642
Bibliografía.
· Aprendo a superar las matemáticas de 2º de BUP
· Aprendo a superar las matemáticas de 3º de BUP
· Matemáticas Tecnología 1º Bachiller J.R. Vizmanos y M.
Anzola.
· Diccionario enciclopédico Espasa Calpe.
· Diccionario enciclopédico Larousse.
· Diccionario enciclopédico Vox.
· Microsoft Encarta 99.
· Enciclopedia Planeta Multimedia.
· Direcciones de Internet :
http://planetpi.8m.com/
http://usuarios.iponet.es/~jastorga/matematicas/mates.htm
http://www.arrakis.es/~davidgv/index.html
http://www.redemat.com/
Monografías
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