Biografía de Srinivasa Aiyangar Ramanujan

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En este artìculo se presenta una breve reseña de los antecedentes personales y algunas de sus màs importantes contribuciones de quien fuera y es considerado uno de los mayores genios matemàticos de todos tiempos, Srinivasa Aiyangar Ramanujan.

Agregado: 05 de JUNIO de 2012 (Por Eduardo A. Castro y Michael J. Bucknum) | Palabras: 6494 | Votar |

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Autor: Eduardo A. Castro y Michael J. Bucknum (eacast@gmail.com)

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SRINIVASA AIYANGAR RAMANUJAN: UN GENIO ENIGMÀTICO

Eduardo A. Castro y Michael J. Bucknum

INIFTA, Divisiòn Quìmica Teòrica, Suc.4, C.C. 16, La Plata 1900, Buenos Aires, Argentina

Resumen: En este artìculo se presenta una breve reseña de los antecedentes personales y algunas de sus màs importantes contribuciones de quien fuera y es considerado uno de los mayores genios matemàticos de todos tiempos, Srinivasa Aiyangar Ramanujan.

* Autor correspondiente (eacast@gmail.com)

Srinivasa Aiyangar Ramanujan

Srinivasa Ramanujan
Srinivasa Aiyangar Ramanujan
Nacimiento	22 de diciembre de 1887 Erode, Tamil Nadu, Raj Británico
Fallecimiento	26 de abril de 1920 (32 años) Chetput, (Madrás), Tamil Nadu, Raj Británico
Residencia	Raj Británico (hoy la República de la India ) Reino Unido
Nacionalidad	indio
Campo	Matemáticas
Alma máter	Universidad de Cambridge
Supervisor doctoral	G. H. Hardy J. E. Littlewood
Conocido por	Suma de Ramanujan Constante de Landau-Ramanujan Constante de Ramanujan-Soldner Identidad de Rogers-Ramanujan
Sociedades	Royal Society de Londres

Srinivāsa Aiyangār Rāmānujan, (Erode 22 de diciembre de 1887 - Kumbakonam 26 de abril de 1920) fue un matemático indio muy enigmático. De familia humilde, a los siete años asistió a una escuela pública gracias a una beca. Recitaba a sus compañeros de clase fórmulas matemáticas y cifras de π.

A los 12 años dominaba la trigonometría, y a los 15 le prestaron un libro con 6.000 teoremas conocidos, sin demostraciones. Ésa fue su formación matemática básica. En 1903 y 1907 suspendió los exámenes universitarios porque sólo se dedicaba a sus diversiones matemáticas.

En 1912 fue animado a comunicar sus resultados a tres distinguidos matemáticos. Dos de ellos no le respondieron, pero sí lo hizo Godfrey Harold Hardy, de Cambridge. Hardy estuvo a punto de tirar la carta, pero la misma noche que la recibió se sentó con su amigo John Edensor Littlewood (v.) a descifrar la lista de 120 fórmulas y teoremas de Ramanujan. Horas más tarde creían estar ante la obra de un genio. Hardy tenía su propia escala de valoración para el genio matemático: 100 para Ramanujan, 80 para David Hilbert, 30 para Littlewood y 25 para sí mismo. Algunas de las fórmulas de Ramanujan le desbordaron, pero escribió ...forzoso es que fueran verdaderas, porque de no serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para inventarlas. Invitado por Hardy, Ramanujan partió para Inglaterra en 1914 y comenzaron a trabajar juntos. En 1917 Ramanujan fue admitido en la Royal Society de Londres y en el Trinity College, siendo el primer indio que lograba tal honor. De salud muy débil, moría tres años después.

Hardy escribió de Rāmānujan:

"Los límites de sus conocimientos eran sorprendentes como su profundidad. Era un hombre capaz de resolver ecuaciones modulares y teoremas de un modo jamás visto antes, su dominio de las fracciones continuas era superior a la de todo otro matemático del mundo; ha encontrado por sí solo la ecuación funcional de la función zeta y los términos más importantes de la teoría analítica de los números; sin embargo no había oído hablar jamás de una función doblemente periódica o del Teorema de Cauchy y poseía una vaga idea de lo que era una función de variable compleja..."

Lo principal de los trabajos de Ramanujan está en sus cuadernos, escritos por él en nomenclatura y notación particular, con ausencia de demostraciones, lo que ha provocado una difícil tarea de desciframiento y reconstrucción, aún no concluida. Fascinado por el número π, desarrolló potentes algoritmos para calcularlo.

Rāmānujan trabajó principalmente en la teoría analítica de los números y devino célebre por sus numerosas fórmulas sumatorias referidas a las constantes tales como π y la base natural de los logaritmos, los números primos y la función de fracción de un entero obtenida junto a Godfrey Harold Hardy.

Rāmānujan nació en la localidad de Erode, del estado de Tamil Nadu en India, en el seno de una familia brahman pobre y ortodoxa. Fue un llamativo autodidacta; prácticamente todas las matemáticas que aprendió fueron las leídas hacia los 15 años de edad en los libros La Trigonometría plana de S. Looney, y la Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics de S. Carr que contenían un listado de unos 6000 teoremas sin demostración. Estas dos obras le permitieron establecer una gran cantidad de conclusiones y resultados atinentes a la teoría de los números, las funciones elípticas, las fracciones continuas y las series infinitas para esto creó su propio sistema de representación simbólica.

A la edad de 17 años llevó a cabo por su cuenta una investigación de los números de Bernoulli y de la Constante de Euler-Mascheroni. Se licenció en el Government College de Kumbakonam.

El matemático seguía una estricta vida de Brahmin. A menudo decía que sus teoremas matemáticos eran inspirados directamente por la diosa Namagiri, durante sus sueños. Algunos de sus numerosos teoremas, han resultado ser en realidad incorrectos. Se desconocen los métodos mentales empleados por la mente de Rāmānujan para desarrollar sus intuiciones matemáticas, la mayoría de las veces completamente ciertas, pero en algunos casos falsas.

Rāmānujan, de un modo independiente, recopiló 3900 resultados ¡!!!!! (en su mayoría identidades y ecuaciones) durante su breve vida.

Afectado por una tuberculosis que se agravaba por el clima de Inglaterra, Rāmānujan retornó a su país natal en 1919 y falleció poco tiempo después en Kumbakonam (a 260 km de Chennai Madras) a la edad de 32 años. Dejó varios libros llamados Cuadernos de Ramanujan los cuales continúan siendo objeto de estudios.

Recientemente, las fórmulas de Rāmānujan han sido fundamentales para nuevos estudios en cristalografía y en teoría de cuerdas. El Ramanujan Journal es una publicación internacional que publica trabajos de áreas de las matemáticas influidas por este investigador indio.

Teoremas y descubrimientos

Aquí se reportan algunos de los hallazgos de Ramanujan, y los resultados obtenidos en colaboración con Hardy a inicios del siglo XX:

Propiedad de los números altamente compuestos
La funciones de partición y sus asintóticas
Función theta de Ramanujan

Ha logrado notables progresos y descubrimientos en las áreas relativas a :

Funciones Gamma
Formas modulares
Series divergentes
Series hipergeométricas
Teoría de los números primos

La conjetura de Rāmānujan y su importancia

Aunque existen numerosas expresiones que reciben el nombre de "conjetura de Ramanujan", existe una particularmente influyente sobre los trabajos sucesivos. Esta conjetura de Ramanujan es una aserción referente a las dimensiones de los coeficientes de la función Tau, una típica forma cúspide en la teoría de las formas modulares. Y ha sido finalmente demostrada posteriormente como consecuencia de la demostración de la conjetura de Weil mediante un complicado procedimiento.

Fórmulas

Entre muchas otras, Rāmānujan ha aportado la siguiente fórmula:

$1+frac{1}{1cdot 3} + frac{1}{1cdot 3cdot 5} + frac{1}{1cdot 3cdot 5cdot 7} + frac{1}{1cdot 3cdot 5cdot 7cdot 9} + cdots + {{1over 1 + {1over 1 + {2over 1 + {3over 1 + {4over 1 + {5over 1 + cdots }}}}}}} = sqrt{frac{ecdotpi}{2}}$

Se trata de una especie de obra de arte matemática donde se conecta una serie matemática infinita y una fracción continua para aportar así una relación entre dos célebres constantes de matemáticas.

Una segunda fórmula, demostrada en 1985 por Jonathan y Peter Borwein, es la que descubrió él en 1910 :

$frac{1}{pi} = frac{2sqrt{2}}{9801} sum^infty_{k=0} frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$

Es muy eficaz porque ella aporta 8 decimales a cada iteración.

Número de Rāmānujan

Se denomina número de Hardy-Ramanujan a todo entero natural que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes. Hardy comenta la siguiente anécdota :

Recuerdo que fuí a verle una vez, cuando él ya estaba muy enfermo, en Putney. Había tomado yo un taxi que llevaba el número 1729 y señalé que tal número me parecía poco interesante, y yo esperaba que él no hiciera sino un signo desdeñoso.
- "No"- me respondió- este es un número muy interesante; es el número más pequeño que podemos descomponer de dos maneras diferentes con suma de dos cubos.

G.H. Hardy

En efecto, 9³ + 10³ = 1³ + 12³ = 1729.

- Otros números que poseen esta propiedad habían sido descubiertos por el matemático francés Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675):

2³ + 16³ = 9³ + 15³ = 4104
10³ + 27³ = 19³ + 24³ = 20683
2³ + 34³ = 15³ + 33³ = 39312
9³ + 34³ = 16³ + 33³ = 40033

- El más pequeño de los números descomponibles de dos maneras diferentes en suma de dos potencias a la cuarta es 635 318 657, y fue descubierto por Euler (1707-1763):

158⁴ + 59⁴ = 133⁴ + 134⁴ = 635318657

Se denomina nésimo número Taxicab, denotado como Ta(n) o Taxicab(n), al más pequeño número que puede ser expresado como una suma de dos cubos positivos no nulos de n maneras distintas, sin contar variaciones del orden de los operandos. Así, Ta(1) = 2 = 1³ + 1³, Ta(2) = 1729 y Ta(3) = 87539319. Variante del taxicab es el cabtaxi (un número cabtaxi es definido como el número entero más pequeño que se puede escribir de n maneras diferentes (en el orden de los términos aproximados) como suma de dos cubos positivos, nulos o negativos).

Hardy estuvo a punto de tirar la carta, pero la misma noche que la recibió se sentó con su amigo John Edensor Littlewood (v.) a descifrar la lista de 120 fórmulas y teoremas de Ramanujan. Horas más tarde creían estar ante la obra de un genio. Hardy tenía su propia escala de valoración para el genio matemático: 100 para Ramanujan, 80 para David Hilbert, 30 para Littlewood y 25 para sí mismo. Algunas de las fórmulas de Ramanujan le desbordaron, pero escribió ...forzoso es que fueran verdaderas, porque de no serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para inventarlas. Invitado por Hardy, Ramanujan partió para Inglaterra en 1914 y comenzaron a trabajar juntos. En 1917 Ramanujan fue admitido en la Royal Society de Londres y en el Trinity College, siendo el primer indio que lograba tal honor. De salud muy débil, moría tres años después.

Hardy escribió de Rāmānujan:

"Los límites de sus conocimientos eran sorprendentes como su profundidad. Era un hombre capaz de resolver ecuaciones modulares y teoremas ...de un modo jamás visto antes, su dominio de las fracciones continuas era...superior a la de todo otro matemático del mundo; ha encontrado por sí solo la ecuación funcional de la función zeta y los términos más importantes de la teoría analítica de los números; sin embargo no había oído hablar jamás de una función doblemente periódica o del Teorema de Cauchy y poseía una vaga idea de lo que era una función de variable compleja..."

Teoremas y descubrimientos

Aquí se reportan algunos de los hallazgos de Ramanujan, y los resultados obtenidos en colaboración con Hardy a inicios del siglo XX:

Propiedad de los números altamente compuestos
La funciones de partición y sus asintóticas
Función theta de Ramanujan

Ha logrado notables progresos y descubrimientos en las áreas relativas a :

Funciones Gamma
Formas modulares
Series divergentes
Series hipergeométricas
Teoría de los números primos

La conjetura de Rāmānujan y su importancia

Fórmulas

Entre muchas otras, Rāmānujan ha aportado la siguiente fórmula:

Una segunda fórmula, demostrada en 1985 por Jonathan y Peter Borwein, es la que descubrió él en 1910 :

$frac{1}{pi} = frac{2sqrt{2}}{9801} sum^infty_{k=0} frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$

Es muy eficaz porque ella aporta 8 decimales a cada iteración.

Número de Rāmānujan

Se denomina número de Hardy-Ramanujan a todo entero natural que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos maneras diferentes. Hardy comenta la siguiente anécdota :

G.H. Hardy

En efecto, 9³ + 10³ = 1³ + 12³ = 1729.

- Otros números que poseen esta propiedad habían sido descubiertos por el matemático francés Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675) :

2³ + 16³ = 9³ + 15³ = 4104
10³ + 27³ = 19³ + 24³ = 20683
2³ + 34³ = 15³ + 33³ = 39312
9³ + 34³ = 16³ + 33³ = 40033

- El más pequeño de los números descomponibles de dos maneras diferentes en suma de dos potencias a la cuarta es 635 318 657, y fue descubierto por Euler (1707-1763):

158⁴ + 59⁴ = 133⁴ + 134⁴ = 635318657

Número de Hardy-Ramanujan

El 1729 es el llamado número de Hardy-Ramanujan es el número natural más pequeño que puede ser expresado como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes:

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³.

El nombre de estos números proviene de la siguiente historia que tiene como protagonistas a Godfrey Harold Hardy, y Ramanujan: "Una vez, en un taxi (en inglés taxicab) de Londres, a Hardy le llamó la atención su número, 1729. Debió de estar pensando en ello porque entró en la habitación del hospital en donde estaba Ramanujan tumbado en la cama y, con un "hola" seco, expresó su desilusión acerca de este número. Era, según él, un número aburrido, agregando que esperaba que no fuese un mal presagio. No, Hardy, dijo Ramanujan, es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes".

Hardy, a continuación, le preguntó si conocía la respuesta para las cuartas potencias. Ramanujan contestó, tras pensarlo un momento, que no podía ver la respuesta, pero que pensaba que debía ser un número extremadamente grande. De hecho, la respuesta, obtenida mediante cálculos con ordenador, es 635318657 = 134⁴ + 133⁴ = 158⁴ + 59⁴

De una generalización de esta propiedad surgen los llamados números Taxicab.

La función modular de Ramanujan y la teoría de cuerdas

La teoría de cuerdas supone que cada modo o vibración de una cuerda fundamental representa una partícula elemental distinta, y puede explicar a la vez la naturaleza de la materia y del espacio-tiempo (las partículas en lugar de ser puntuales pasan a ser unidimensionales). Es la primera teoría cuántica de la gravedad: Cuando se calcularon por primera vez las ligaduras de autoconsistencia que impone la cuerda sobre el espacio-tiempo, se observó con sorpresa que las ecuaciones de Einstein ( teoría de la gravedad) emergían de la cuerda, de hecho, el gravitón o cuanto de gravedad era la menor vibración de la cuerda cerrada.

No sabemos todavía por qué la teoría de cuerdas está definida sólo en 10 y 26 dimensiones, aunque parece seguro que esta teoría no podría unificar las fuerzas fundamentales con tan solo tres dimensiones. Las cuerdas se rompen y se forman en el espacio N-dimensional arrastrando con ellas una serie de términos que destruyen las maravillosas propiedades de la teoría. Afortunadamente, estos términos aparecen multiplicados por el factor (N-10), lo que nos obliga a elegir N=10 para eliminarlos.

Los teóricos de cuerdas al intentar manipular los diagramas de lazos KSV ( Kikkawa-Sakita-Virasoro) creados por las cuerdas en interacción encuentran unas extrañas funciones llamadas modulares que aparecen en las ramas más distantes e "inconexas" de las matemáticas((Yutaka Taniyama ( Japón, 1927-1958) observó que cada función modular está relacionada con una curva elíptica. Esto forma la base de la conjetura Taniyama-Shimura que demostró ser una parte importante en la demostración del último Teorema de Fermat de Andrew Wiles )). Una función que aparece continuamente en la teoría de funciones modulares se denomina función de Ramanujan, en honor al matemático Srinivasa Ramanujan, nacido en 1887 en Erode, India, cerca de Madrás.

Ramanujan, trabajando en total aislamiento (y sin formación, toda su instrucción matemática la consiguió de la lectura de un oscuro y olvidado libro de matemáticas escrito por George Carr), fue capaz de redescubrir por sí mismo lo más valioso de cien años de matemáticas occidentales y de dejarnos una obra, que consta de 4.000 fórmulas en cuatrocientas páginas densamente llenas de teoremas de increíble fuerza pero sin ningún comentario ni demostración. Tenía tal intuición que los teoremas simplemente fluían de su cerebro, sin el menor esfuerzo aparente. Solía decir que las diosas Namakkal le inspiraban la fórmulas en sueños.

Trabajaba en el puerto franco de Madrás, en un trabajo servil con una mísera paga, pero tenía la suficiente libertad y tiempo para seguir con sus sueños matemáticos. Después de enviar varias cartas a tres matemáticos británicos conocidos, consiguió que el brillante matemático de Cambridge Godfrey H. Hardy se diera cuenta de su inmenso genio matemático y lo trajo a Cambridge en 1914. Hardy tratando de estimar la capacidad matemática de Ramanujan, concedía un 80 al gran matemático David Hilbert, un 100 a Ramanujan y un 25 a sí mismo.

La función de Ramanujan contiene un término elevado a la potencia veinticuatro. Ese número es el origen de las cancelaciones milagrosas que se dan en la teoría de cuerdas, pues cada uno de los veinticuatro modos de la función de Ramanujan corresponde a una vibración física de la cuerda. Cuando se generaliza la función de Ramanujan,el número 24 queda reemplazado por el 8. Si tenemos en cuenta que se añaden dos dimensiones más al número total de vibraciones que aparecen en una teoría relativista, obtendremos 8+2, ó 10: La cuerda vibra en diez dimensiones porque requiere estas funciones de Ramanujan generalizadas para permanecer autoconsistente.

Pura geometría para explicarlo todo, el sueño de Einstein. Y las matemáticas más extrañas imaginadas por un genio, sin apenas instrucción básica, para introducirnos en una teoría de cuerdas que necesita de matemáticas que todavía desconocemos. Einstein tenía las matemáticas inventadas por Riemann para su teoría de la relatividad general, la teoría de cuerdas quizás necesite de las matemáticas, que descansan en los cuadernos llenos de teoremas sin demostrar, de Ramanujan. En el fondo, siempre, una hermosa conexión entre las ramas más distantes e inconexas de las matemáticas y la propia realidad que representan las leyes físicas.

Para saber mucho más: "HIPERESPACIO", de Michio Kaku,( 1996 CRíTICA-Grijalbo Mondadori,S.A. Barcelona) profesor de física teórica en la City University de Nueva York. Es un especialista a nivel mundial en la física de las dimensiones superiores ( hiperespacio). Despide el libro con una palabras preciosas:"Algunas personas buscan un significado a la vida a través del beneficio personal, a través de las relaciones personales, o a través de experiencias propias. Sin embargo, creo que el estar bendecido con el intelecto para adivinar los últimos secretos de la naturaleza da significado suficiente a la vida".

Suma de Ramanujan

En matemáticas la, suma de Ramanujan, llamada así por Srinivasa Ramanujan y normalmente escrita como c_q(n), se define

$c_q(n)=sum_{a=1atop (a,q)=1}^qeleft(frac{an}{q}right),$

donde n y q son enteros positivos, (a,q) son el máximo común divisor de a y q, y e(x) es la función exponencial exp(2πix).

Es fácilmente demostrable que la suma de Ramanujan es multiplicativa, p.e.

c_q(n)c_r(n)=c_qr(n)

para cualquier (q,r) = 1.

Otra propiedad es que c_q(n) es igual a su complejo conjugado, y por tanto real.

Escribiendo d como el máximo común divisor de q y n, y nombrando la función de Möbius y la función fi de Euler por μ y φ respectivamente, cumple la siguiente identidad:

$c_q(n)=mu(q/d)frac{phi(q)}{phi(q/d)}.$

Series relacionadas con la suma de Ramanujan

Ramanujan evaluó infinitas series de la forma

$sum_{q=1}^infty a_qc_q(n)$

para diversas secuencias (a_q).^[1] En particular, para s cualquier número real mayor o igual que 1, encontró que las series de Dirichlet cumplían que:

$sum_{q=1}^inftyfrac{c_q(n)}{q^s}=frac{sigma_{1-s}(n)}{zeta(s)},$

donde σ es la función divisor y ζ la función zeta de Riemann. En los casos s = 1 y s = 2 esto es

$sum_{q=1}^inftyfrac{c_q(n)}{q}=0$

$sum_{q=1}^inftyfrac{c_q(n)}{q^2}=frac{6}{pi^2}frac{sigma_1(n)}{n}$

respectivamente.

Otras identitidades obtenidas por Ramanujan son

$sum_{q=1}^inftyfrac{c_q(n)}{q}log(q)=-sigma_0(n)$

$sum_{q=1}^infty(-1)^{q-1}frac{c_{2q-1}(n)}{2q-1}=r_2(n),$

donde r₂(n) son el número de representaciones de n como x² + y² en enteros x e y.

Referencias

↑ Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work, G. H. Hardy, Cambridge University Press, 1940

Obtenido de http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Suma_de_Ramanujan&oldid=45288916

Constante de Landau-Ramanujan

En Matemática, la constante de Landau-Ramanujan aparece como un resultado de la teoría de números que enuncia que la proporción de los enteros positivos menores o iguales que x que son suma de dos cuadrados es, para x suficientemente grande, proporcional a

La constante de proporcionalidad es la constante de Landau-Ramanujan.

Más formalmente, si N(x) es el número de enteros positivos menores o iguales que x que son suma de dos cuadrados, en el límite para x creciente,

$lim_{xrightarrowinfty} frac{N(x)sqrt{ln(x)}}{x}approx 0,76422365358922066299069873125.$

Este número es la constante de Landau-Ramanujan.

Obtenido de http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Constante_de_Landau-Ramanujan&oldid=50291360

Constante de Landau-Ramanujan

La constante de proporcionalidad es la constante de Landau-Ramanujan.

Más formalmente, si N(x) es el número de enteros positivos menores o iguales que x que son suma de dos cuadrados, en el límite para x creciente,

$lim_{xrightarrowinfty} frac{N(x)sqrt{ln(x)}}{x}approx 0,76422365358922066299069873125.$

Este número es la constante de Landau-Ramanujan.

Obtenido de http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Constante_de_Landau-Ramanujan&oldid=50291360

La Conjetura de Ramanujan-Petersson

En matemática, la conjetura de Ramanujan, llamada así en honor a Srinivasa La Ramanujan, postula que los coeficientes de Fourier de la forma cúspide de valor 12, definida en la teoría de formas modulares satisface que,

$|tau(p)| leq 2p^{11/2},$

donde p es un número primo. Esto implica una estimación que sólo es ligeramente más débil para todos los , es decir, $O(n^{frac{11}{2}+varepsilon})$ para cualquier . Esta conjetura de Ramanujan fue confirmada mediante la demostración de las conjeturas de Weil por Deligne (1974). Las formulaciones necesarias para mostrar este resultado fueron como consecuencia delicadas y no tan obvias. Esto se debe al trabajo de Michio Kuga con las contribuciones también de Mikio Sato, Goro Shimura, y Yasutaka Ihara, seguidos por Deligne (1968). La existencia de dicha conexión inspiró algunos de los grandes trabajos sobre el tema a finales de la década de 1960, cuando las consecuencias de la teoría sobre la cohomología de Étale estaban siendo elaboradas.

La más general conjetura de Ramanujan-Petersson para fórmas cúspides en la teoría de formas modulares elípticas para subgrupos de congruencia tiene una formulación semejante, con un exponente (k − 1)/2 donde k es el valor de la forma. Estos resultados también se pueden obtener a partir de las conjeturas de Weil, excepto para el caso k = 1, cuyo resultado es debido a Deligne y Jean-Pierre Serre. Es llamada en honor a Hans Petersson (1902 - 1984).

En el lenguaje de formas automórficas, una generalización muy amplia puede ser posible; pero ha demostrado ser demasiado optimista, por el caso particular de , es decir, la similitud del grupo de cuatro dimensiones denominado grupo simpléctico, para la cual han sido encontrados contraejemplos. La forma generalizada apropiada para la conjetura de Ramanujan está todavía en espera; la formulación de las conjeturas de Arthur está en términos para los cuales se explica el mecanismo que permite cierto tipo de contraejemplos.

Aplicaciones

La más famosa aplicación de la conjetura de Ramanujan es la construcción explícita de grafos de Ramanujan por Lubotzky, Phillips y Sarnak. En efecto, esta conjetura dio nombre a este tipo de grafos.

La Ecuación de Ramanujan-Nagell

En matemática, en el campo de la teoría de números, la ecuación de Ramanujan-Nagell es un tipo particular de ecuación diofántica exponencial.

Ecuación y solución

La ecuación es

y las soluciones en números naturales n y x existen únicamente cuando n = 3, 4, 5, 7 y 15.

Ésto fue conjeturado en 1913 por el matemático indio Srinivasa Ramanujan (1887-1920), propuesto independientemente en 1943 por el matemático noruego Wilhelm Ljunggren (1905-1973), y consecuentemente demostrado poco después por el matemático noruego Trygve Nagell (1895-1988). Los valores para los que n cumple la ecuación corresponden con los valores de x :

x = 1, 3, 5, 11 y 181^[1]

Los números triangulares de Mersenne

El problema de encontrar todos los números de la forma 2^b − 1 (números de Mersenne) los cuales son triangulares es equivalente [1]. Los valores de b son precisamente aquellos que son n − 3, así que los números triangulares de Mersenne son 0, 1, 3, 15, 4095 y no más (sucesión A076046 en OEIS).

Referencias

S. Ramanujan (1913). Question 464. J. Indian Math. Soc. 5: pp. 130.
W. Ljunggren (1943). Oppgave nr 2. Norsk Mat. Tidskr. 25: pp. 29.
T. Nagell (1948). Løsning till oppgave nr 2. Norsk Mat. Tidskr. 30: pp. 62-64.
T. Nagell (1961). The Diophantine equation x²+7=2ⁿ. Ark. Mat. 30: pp. 185-187. doi:10.1007/BF02592006.
T.N. Shorey; R. Tijdeman (1986). Exponential Diophantine equations. Cambridge Tracts in Mathematics. 87. Cambridge University Press. pp. 137-138. ISBN 0-521-26826-5.

Deligne, Pierre (1971), Formes modulaires et représentations l-adiques, Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 Exposés 347-363, Lecture Notes in Mathematics, 179, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0058801, ISBN 978-3-540-05356-9, http://www.numdam.org/item?id=SB_1968-1969__11__139_0
Deligne, Pierre (1974), La conjecture de Weil. I., Publications Mathématiques de l'IHÉS 43: 273-307, doi:10.1007/BF02684373, MR0340258, ISSN 1618-1913, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0

Obtenido de http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjetura_de_Ramanujan%E2%80%93Petersson&oldid=51799273

La fracción continua de Rogers-Ramanujan

La fracción continua de Rogers-Ramanujan es una fracción continua descubierta por Rogers (1894) y más tarde estudiada por Srinivasa Ramanujan, íntimamente relacionada con las identidades de Rogers-Ramanujan, que puede ser evaluada explícitamente para determinados valores de su argumento.

Definición

La fracción continua de Ramanujan es

$1+cfrac{q}{1+cfrac{q^2}{1+cfrac{q^3}{1+cdots}}} = frac{G(q)}{H(q)}=1+q -q^3 +q^5-cdots$

(sucesión A003823 en OEIS)

donde

$G(q) = sum_{n=0}^infty frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = frac {1}{(q;q^5)_infty (q^4; q^5)_infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+cdots$

(sucesión A003114 en OEIS)

$H(q) =sum_{n=0}^infty frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = frac {1}{(q^2;q^5)_infty (q^3; q^5)_infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+cdots.$ (sucesión A003106 en OEIS)

son funciones que aparecen en las identidades de Rogers-Ramanujan.

Aquí, denota el símbolo q-Pochhammer para el caso infinito.

Formas modulares

Si q = e^2πiτ, entonces q^−1/60G(q) y q^11/60H(q) y también q^1/5H(q)/G(q)) son formas modulares de τ. Puesto que éstas tienen coeficientes enteros, la teoría de la multiplicación compleja implica que sus valores para τ siendo un número imaginario cuadrático irracional son números algebraicos que pueden ser evaluados explícitamente. En particular, la fracción continua de Ramanujan se pueden evaluar para estos valores de τ.

Ejemplos

$cfrac{1}{1 + cfrac{e^{-2pi}}{1 + cfrac{e^{-4pi}}{1+dots}}} = left({sqrt{5+sqrt{5}over 2}-{sqrt{5}+1over 2}}right)e^{2pi/5} = e^{2pi/5}left({sqrt{varphisqrt{5}}-varphi}right) = 0.9981360dots$

donde φ es el número áureo (Aproximadamente 1.618)

El inverso multiplicativo de esta expresión es:

$begin{align} & {} quad 1 + cfrac{e^{-2pi}}{1+ cfrac{e^{-4pi}}{1 + cfrac{e^{-6pi}}{1+dots}}} = frac{1}{2}left[1+sqrt{5}+sqrt{2(5+sqrt{5})}right],e^{-2pi/5} \ \ & = frac{e^{-2pi/5}}{sqrt{varphisqrt{5}} - varphi } = 1.0018674dots end{align}$

$begin{align} & {} quad cfrac{1}{1+cfrac{e^{-2pisqrt{5}}}{1 + cfrac{e^{-4pisqrt{5}}}{1+dots}}} \ \ & = left( frac{sqrt{5}}{1+[5^{3/4} (varphi-1)^{5/2}-1]^{1/5}} - {varphi}right) , e^{2pi/sqrt{5}} = 0.99999920dots end{align}$

El inverso multiplicativo de esta expresión es:

$begin{align} & {} quad 1 + cfrac{e^{-2pisqrt{5}}}{1 + cfrac{e^{-4pisqrt{5}}}{1+dots}} \ \ & = cfrac{e^{-2pi/sqrt{5}}}{{} cfrac{sqrt{5}}{ 1+left[5^{3/4}( varphi-1)^{5/2} - 1right]^{1/5}} - varphi {}} = 1.000000791267dots end{align}$

Referencias

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Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan,, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son, The Rogers-Ramanujan Continued Fraction, J. Comput. Appl. Math. 105 (1999), pp. 9-24.

La función theta de Ramanujan

En matemática, la función theta de Ramanujan generaliza la forma de las funciones theta de Jacobi, a la vez que conserva sus propiedades generales. En particular, el producto triple de Jacobi se puede escribir elegantemente en términos de la función theta de Ramanujan. La función toma nombre de Srinivasa Ramanujan, y fue su última gran contribución a las matemáticas.

La función theta de Ramanujan está definida como:

$f(a,b) = sum_{n=-infty}^infty a^{n(n+1)/2} ; b^{n(n-1)/2}$

para |ab| < 1 . La identidad del producto triple de Jacobi toma la forma

Aquí, la expresión (a;q)_n denota el símbolo q-Pochhammer. Entre otras, las identidades que se pueden obtener se incluyen

$f(q,q) = sum_{n=-infty}^infty q^{n^2} = frac {(-q;q^2)_infty (q^2;q^2)_infty} {(-q^2;q^2)_infty (q; q^2)_infty}$

$f(q,q^3) = sum_{n=0}^infty q^{n(n+1)/2} = frac {(q^2;q^2)_infty}{(q; q^2)_infty}$

$f(-q,-q^2) = sum_{n=-infty}^infty (-1)^n q^{n(3n-1)/2} = (q;q)_infty$

esta última se convierte en la función de Euler, que está estrechamente relacionada con la función eta de Dedekind.

Referencias

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George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge . ISBN 0-521-83357-4.

Obtenido de http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_theta_de_Ramanujan&oldid=43707657

La Constante de Ramanujan-Soldner

En matemáticas, la constante de Ramanujan-Soldner (o simplemente constante de Soldner) es una constante matemática definida como la única raíz positiva de la función integral logarítmica. Se llama así en honor a Srinivasa Ramanujan y Johann Georg von Soldner.

Su valor es, aproximadamente, μ ≈ 1,451369234883381050283968485892027449493...

Como la integral logaritmica se define como

$mathrm{li}(x) = int_0^x frac{dt}{ln t},$

se tiene

$int_0^x frac{dt}{ln t} = int_0^x frac{dt}{ln t} - int_0^{mu} frac{dt}{ln t}$

$mathrm{li}(x) = int_{mu}^x frac{dt}{ln t},$

lo que facilita el cálculo para enteros positivos. Además, como la función integral exponencial satisface la ecuación

se tiene que la única raíz positiva de la integral exponencial se produce en el logaritmo natural de la constante de Ramanujan-Soldner, cuyo valor es aproximadamente ln(μ) ≈ 0,372507410781366634461991866...

La paradoja de los números interesantes

La paradoja de los números interesantes, que se sirve de algunas propiedades matemáticas pero que puede catalogarse más adecuadamente como humorística, busca demostrar que todos los números naturales (1,2,3......etc) son "interesantes". Los llamados números interesantes se originan de la costumbre entre los matemáticos y también aficionados, de encontrar propiedades curiosas en ciertos números, que por poseerlas se consideran más bien números interesantes que aburridos.

La Anécdota de Hardy y Ramanujan

Es conocida la anécdota de la charla entre Hardy y Ramanujan, en la que el primero le manifestara que el número 1729 era muy aburrido, lo que dio lugar a la inmediata reacción de Ramanujan quien afirmó que dicho número es muy interesante puesto que se trata del número más pequeño que puede expresarse como la suma de dos cubos (positivos) de dos maneras diferentes. ^[1] La "demostración" que sigue encubre en realidad una paradoja.

Demostración

Supongamos que existen números que no son interesantes. Entonces podemos efectuar una partición de los números naturales en dos subconjuntos, por una parte los números interesantes y por otra parte los números aburridos. Ahora bien, como en todo subconjunto de números naturales existe siempre uno que es más pequeño que todos los otros, ^[2] el subconjunto de los aburridos tiene un número que es el más pequeño de este grupo. Pero en razón de tal propiedad, ese número se transforma en un número interesante: se trata en efecto del más pequeño de los números aburridos. Este nos coloca en la obligación de sacarlo de este grupo y ponerlo en el de los interesantes. Pero ahora un nuevo número dentro de los aburridos será el más chico y por la misma razón tendremos que trasladarlo al subconjunto de los interesantes y así sucesivamente hasta que quede un solo número no interesante. Pero este último número tiene la interesantísima propiedad de ser el único número no interesante, habrá también que trasladarlo al grupo de los interesantes y con esto, el grupo de los números no interesantes se transformó en un conjunto vacío. Nuestra suposición inicial nos hizo desembocar en una contradicción o aporía, lo que demuestra que tal suposición era falsa. Entonces tenemos que concluir que no existen números que no son interesantes.

Carácter paradójico

La "demostración" precedente, que tiene la apariencia formal de una reductio ad absurdum (reducción al absurdo), no puede en realidad calificarse de tal por cuanto utiliza a tal fin la ambigua propiedad "ser interesante". En efecto, tal calificativo no tiene una entidad matemática suficientemente precisa y objetiva para poder ser utilizada como un criterio para "particionar" un conjunto, contrariamente a lo que podría hacer utilizando por ejemplo la propiedad "ser un número par", con la cual se pueden establecer clara e indistintamente una partición en pares y no pares (impares), o como con la propiedad "ser un número primo". En efecto, esto también puede expresarse diciendo que la relación de pertenencia de un elemento a un conjunto debe ser siempre perfectamente discernible, es decir, que la afirmación "x pertenece al conjunto M" debe poder calificarse sea como verdadera sea como falsa sin ambigüedad alguna. ^[3]

Referencias

1. ↑ En efecto: 10^3 + 9^3 = 1000+729=1729 y 12^3+1^3 = 1728+1=1729. No existe ningún número más pequeño que 1729 que pueda expresarse de dos maneras como la suma de dos cubos.

2. ↑ Es decir, se trata de un conjunto "bien ordenado". Esta propiedad la expresamos (informalmente) diciendo que todo subconjunto no vacío de números naturales tiene siempre un elemento que es el más pequeño entre todos los que pertenecen a dicho subconjunto. Para una definición más formal puede verse el artículo sobre conjunto bien ordenado.

3. ↑ Ver artículos sobre conjunto y teoría de conjuntos. En realidad, la exigencia de dicernibilidad absoluta es típica de la teoría clásica de conjuntos. Más recientemente se desarrolló el concepto de subconjunto difuso (fuzzy set) que permite atribuir de "grados de pertenencia" de un elemento a un conjunto, que se escalonan desde cero (no pertenencia) a uno (pertenencia cierta).

El Sumatorio de Ramanuja

El sumatorio de Ramanujan es una técnica inventada por el matemático indio Srinivasa Ramanujan para asignar una suma a una serie divergente infinita. A pesar de que el sumatorio de Ramanujan de una serie divergente no es una suma en el sentido tradicional, ésta tiene propiedades que las hacen matemáticamente útiles en el estudio de series infinitas divergentes, para las cuales la suma normal no está definida.

Desarrollo

El sumatorio de Ramanujan se desarrolla esencialmente usando propiedades de las sumas parciales, en lugar de tomar propiedades de la suma global, la cual no existe. Usando el método de Euler-Maclaurin junto con la regla de corrección que hace uso de los números de Bernoulli, se obtiene:

$begin{align}[c] {} & frac{fleft( 0right) }{2}+fleft( 1right) +cdots+fleft( n-1right) + frac{fleft( nright) }{2}= \ {} & frac{fleft( 0right) +fleft( nright) }{2}+sum_{k=1}^{n-1}fleft(kright)= \ {} & int_0^n f(x),dx + sum_{k=1}^pfrac{B_{k+1}}{(k+1)!}left(f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)right)+R end{align}$

Ramanujan^[1] reescribió éste para el caso en el cual p tiende a infinito:

$sum_{k=1}^{x}f(k)=C+int_0^x f(t)dt+frac{1}{2}f(x)+sum_{k=1}^{infty}frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(x)$

donde C es una constante específica de la serie a tratar. Su continuación analítica y los límites de la integral no fueron especificados por Ramanujan, pero se supone que son los mencionados arriba.. Comparando ambas fórmulas y asumiendo que R tiende a 0 y x tiende a infinito, se puede ver que, en un caso general, para funciones f(x) que no divergen en x = 0:

$C(a)=int_0^a f(t)dt-frac{1}{2}f(0)-sum_{k=1}^{infty}frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(x)$

donde Ramanujan asumió que a = 0 . Tomando , normamente se puede recuperar la suma usual para series convergentes, así pues C(0) fue propuesta para su uso en la suma de la secuencia divergente.

Suma de series divergentes

Usando extensiones standard para series divergentes conocidaas, Ramanujan calculó la suma de éstas. En particular, la suma 1 + 2 + 3 + 4 + • • • es

$1+2+3+cdots = -frac{1}{12} (Re)$

donde la notación indica que es un sumatorio de Ramanujan. Esta expresión aparece originariamente en uno de los cuadernos de Ramanujan, si ningún tipo de anotación que indicara que ésta se trataba de un sumatorio de Ramanujan.

Para potencias pares positivas, se obtiene:

$1+2^{2k}+3^{2k}+cdots = 0 (Re)$

y para potencias impares positivas ,se obtiene esta expresión, relacionada con los números de Bernoulli:

$1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+cdots = -frac{B_{2k}}{2k} (Re).$

En esencia, todos estos resultados son valores de la función zeta de Riemann para valores negativos de la misma, o sea:

$zeta(-2k) = 1+2^{2k}+3^{2k}+cdots = 0 (Re)$

$zeta(-(2k-1)) = 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+cdots = -frac{B_{2k}}{2k} (Re).$

Otras consecuencias

Recientemente, el uso de C(1) ha sido propuesto como sumatorio de Ramanujan, puesto que se puede asegurar que una serie $sum_{k=1}^{infty}f(n)$ admite una y sólo una sumatoria de Ramanujan, definida como el valor en 1 de la única solución de la ecuación en diferencias que verifica la condición condition .^[2]

La nueva definición de sumatorio de Ramanujan (denotado $sum_{n ge 1}^{Re} f(n)$ ) no coincide con la anterior definición de sumatorio de Ramanujan (C(0)) ni con la suma de series convergentes, pero tiene propiedades interesantes, tales como: Si R(x) tiende a un límite finito cuando x→1, entonces la serie $sum_{n ge 1}^{Re} f(n)$ es convergente, obteniéndose:

$sum_{n ge 1}^{Re} f(n)=sum_{n ge 1}^{infty}f(n)-lim_{n to infty}int_1^n f(t)dt$

Otro interesante resultado es el siguiente:

$sum_{n ge 1}^{Re} frac{1}{n}=gamma$ ,

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Referencias

↑ Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks, Ramanujan's Theory of Divergent Series, Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149.
↑ Éric Delabaere, Ramanujan's Summation, Algorithms Seminar 2001-2002, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83-88.

Referencias de Srinivasa Ramanujan

Versiones impresas

O Ore , Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830903569.html
Biography in Encyclopaedia Britannica.
http://www.britannica.com/eb/article-9062575/Srinivasa-Ramanujan

Libros

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Artìculos

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