-CALCULO DE LA FUNCION π(X) EN TEORIA DE NUMEROS-

En este articulo pretendo dar una nueva aproximación para el calculo de la función π(x) útil en la teoría de números, en si con este método se consigue un valor aproximado de la función π(x), utilizando para ello los métodos matemáticos siguientes:

-Transformadas directas e inversas de Laplace

-Método de la transformación de Euler de una serie analítica.

Recordemos que la definición de π(x) se refiee a el sumatorio sobre todos los primos menores o iguales que x de la función identidad f(x)=1

Para ello primero partiremos de la siguiente formula:

Σ f(p) = -∫π(x)f´(x)dx donde π(x)=0 sii x<2 (1)

Siendo f´ la derivada con respecto a x de la f(x)

Donde el sumatorio se refiere a que f esta sumada sobre todos los primos y los valores de la integral van de 0 a ∞ y donde la función es continua y diferenciable para todo R.

Haciendo la sustitución f(x)=exp(-sx) donde s>0, o Re(s)>0 sustituido en la expresión (1)

Obtendríamos la  expresión siguiente:

Σ exp(-sp) = s∫π(x)exp(-sx)dx (2)

O bien recordando que la integral va desde 0 a ∞ y la expresión de la transformada de Laplace de una función f(x) básicamente podríamos rescribir la expresión (2) como

Σ exp(-sp) = sL[π(x)]

O sea que básicamente si pudiésemos calcular el valor del sumatorio Σ exp(-sp) calculado para todos los primos llamando a esta suma G(s)entonces haciendo la transformada inversa de Laplace de esta G(s)s^-1 podríamos obtener el valor de esta función π(x).

Por desgracia el calculo de este sumatorio G(s) es muy difícil de calcular , aunque sin embargo podríamos calcular una expresión aproximada de esta usando el método de la Transformación de Euler de una serie:

Sea la serie siguiente:

Σ (-1)ⁿ [ π(n)-π(n-1)+1]Zⁿ = -ΣZ^p + (1+Z)^-1 +2Z² con │Z│< 1 (3)

Donde el sumatorio va desde 0 a ∞ y que π(0)= π(-1)= π(1)=0, esto básicamente es porque la función denotada por ((n)-π(n-1)) vale 1 sii n es primo y 0 el caso contrario ahora si hacemos la sustitución de Z=exp(-s) con Re(s)>0 y sabiendo que además (-1)^p siempre vale -1 para todos los primos excepto para p=2

Ahora el a_n = π(n)-π(n-1)+1 es mayor que 0 para todo n, aplicando la transformación de Euler para la serie definida en (3) tendríamos la aproximación :

Σ (-1)ⁿ [ π(n)-π(n-1)+1]Zⁿ =(1+Z)^-1 [a₀-Δa₀Φ(z)+Δ²a₀Φ²(z)-..+...-]

Donde Δ se refiere al operador diferencia que actúa como Δa_k=a_k+1-a_k y que la función Φ(z)=(1+Z)^-1Z. Es decir básicamente hemos aproximado la serie analítica aplicándola la transformación de Euler de una serie analítica para mejorar su convergencia.

Ahora sustituyendo Z=exp(-s) en la T.Euler despejando el valor de Σexp(-sp) en (3) obteniendo un valor de:

Σexp(-sp)= 2exp(-2s)+(1+exp(-s))^-1 -(1+exp(-s))^-1[a₀-Δa₀Φ(s)+ Δ²a₀Φ²(s)-...+--] = R(s) (4)

Ahora de la expresión de (4) que hemos obtenido para el sumatorio substituida obtendríamos lo siguiente:

s^-1R(s)= L[π(x)] o bien que π(x)=L^-1[s^-1R(s)] donde L^-1 se refiere a la transformada inversa de Laplace de la función s^-1R(s) definida como sabemos por la integra de contorno:

(2πi)^-1∫_C exp(sx)s^-1 R(s)ds siendo los limites de c-i∞ a c+i∞

Y de aquí sacar la función π(x).