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Llamamos magnitud escalar, o simplemente escalar, a toda magnitud que puede expresarse simplemente con un único número. Por ejemplo, el peso o la altura de una persona es una magnitud escalar.
Se denomina magnitud vectorial o vector a aquella medida para la cual necesitamos dar ``algo más que un sólo número''. Por ejemplo, para saber la velocidad del viento además de su intensidad, es decir, tantos kilómetros por hora, se requiere conocer su dirección y sentido, y así saber si viene del norte hacia el sur, etc...Este tipo de magnitudes se denominan vectores.
Matemáticamente un escalar se representa con un único número4.1 y un vector con una serie de coordenadas, tantas como dimensiones tenga el espacio en el que se representa.
Así un vector se representa como
siendo ,
y
las
componentes del vector, es decir, sus proyecciones sobre los ejes x,y y z. A su
vez
,
y
son los vectores unitarios en las direcciones
de los ejes x,y y z respectivamente.
Se llama módulo de un vector a lo que éste ``mide''. Se calcula como
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(4.1) |
Proyección de un vector sobre un eje es ``la sombra'' de
dicho vector sobre el eje si la ``luz que proyecta dicha sombra'' cayera justo
perpendicularmente. Así las proyecciones de un vector sobre los ejes x,y y z serán
,
y
respectivamente.
El inverso de un vector es dicho vector con sus proyecciones cambiadas de
signo. La suma de un vector y su inverso da siempre el vector nulo.
Vector nulo es aquel vector cuyo módulo es cero. Este vector es especial, pues carece de dirección y sentido.
Vector unitario de otro dado es aquél que, teniendo la misma dirección y
sentido que el que se da, presenta un módulo igual a 1, se representa como
. Así
Para derivar un vector respecto a un parámetro
se
deriva componente a componente.
Para integrar un vector respecto a un parámetro
se
integra componente a componente.
Las operaciones binarias necesitan dos vectores para poder operar sobre ellos. Las más conocidas son:
Dos vectores son iguales si sus coordenadas son iguales. Es decir
La suma de varios vectores también se denomina resultante
de dichos vectores. Para sumar un vector a otro
se suma componente a componente, es decir
Para restar un vector de otro
se suma el inverso del vector
, es decir:
La resta de dos vectores iguales son es el vector cero.
El producto escalar de dos vectores da como resultado un
escalar, como indica su nombre. Para multiplicar así escalarmente un vector por otro
se opera
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(4.2) |
Siendo el ángulo que forman los vectores
y
entre ellos.
El producto escalar de dos vectores, dadas sus componentes, se puede realizar también sabiendo que
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(4.3) |
Observando las relaciones que marcan (4.2) y (4.3) y teniendo presenta además la relación del módulo de un vector expuesta en (4.1) se pueden deducir las siguientes propiedades del producto escalar:
El producto vectorial,
representado como o bien como
, tiene las siguientes
propiedades:
Demostraremos en 4.3.4, quizás
no muy rigurosamente, pero si ganando a cambio mucho en simplicidad, como se
puede llegar a este resultado. En cualquier caso, para hallar cuales son las
componentes del vector producto vectorial basta con saber que si y
, entonces:
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(4.4) |
Tomando
henos exigido que tanto
como que
. Es decir
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(4.5) |
Además parece lógico suponer que este nuevo vector deberá
ser ``independiente'' del sistema de coordenadas que elijamos, con lo cual
vamos a tomar uno en el que el vector coincida con el eje
y
el
se encuentre contenido en el plano
,
formando entre ellos un ángulo
.
Despejando en
una de las ecuaciones (4.5) tenemos que
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(4.6) |
y, sustituyendo en la otra se consigue que
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(4.7) |
Operando un poco en la expresión (4.7) de tal forma que
podamos expresar en
función de
tendremos
que
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(4.8) |
y ahora no queda más que ver el significado de esta expresión para lograr el resultado final.
De las relaciones (4.5) tenemos que debe ser perpendicular tanto a
como a
y, por tanto, en el caso concreto que hemos
elegido,
debe estar en el eje
,
es decir,
. Ahora bien,
precisamente por esta misma razón
y,
según la relación (4.8)
debería
ser también cero, cosa que no tiene sentido. Una posible solución sería hacer
ver que la relación no es válida porque estamos dividiendo por cero, y, ya que
también
es cero, igualar ambos términos. Así tendríamos
y podríamos simplificar
con
el denominador4.2. Una vez extraído
se
tendría también que
, y sólo quedaría
hallar
usando
nuevamente las ecuaciones (4.5). Quedaría, no en sí demostrado, pero si
razonado, el por qué de expresar el producto vectorial de la manera reseñada en
(4.4).
Antes de nada: ¿cómo es posible qué el producto vectorial, que da como resultado un vector, sea reutilizable para calcular un área?. Responder a esta pregunta es sencillo si, para ello, tenemos en cuenta el módulo del producto vectorial, que será un escalar.
Sabemos ya que donde
representa
el ángulo formado por ambos vectores. Esto puede verse en la figura 4.1.
También nos damos cuenta que
puede interpretarse como la ``altura'' del triángulo
formado por
,
y la unión de sus dos extremos. Con lo que
resulta que
resulta ser la base
por
la altura
, y por tanto
donde es el área del triángulo anteriormente dicho.
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Figura: El ángulo entre dos vectores y sus proyecciones. |
A veces se define el producto
mixto entre tres vectores ,
y
como
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(4.9) |
Este producto, cuyo resultado puede verse que va a ser un
escalar, se puede calcular también como el determinante de la matriz que
se forma con las componentes de los vectores, es decir
Una de las utilidades del
producto mixto es que da el volumen de un paralelepípedo formado con las
aristas de los vectores ,
y
, ya que si manejamos un poco (4.9) tenemos
que:
donde no es sino el área de la base del
paralelogramo (ver sección 4.3.4) y
resulta ser la altura de dicho
paralelepípedo. El área de la base por la altura nos da el volumen de este tipo
de cuerpos geométricos.
Sería
un buen ejercicio para el lector intentar demostrar más rigurosamente estas
últimas afirmaciones
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