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Los conceptos de trabajo y energía son de gran importancia en física, y también son muy utilizados en la vida cotidiana. No obstante el uso habitual de estos conceptos en la vida diaria no siempre coincide con su idea física, por lo que habrá que tratar la intuición con cierto cuidado cuando la apliquemos a las situaciones en las que intervienen el trabajo y la energía.
Se define trabajo como
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(7.1) |
La unidad del trabajo es el Julio.
Un Julio equivale a un .
Si la fuerza aplicada es constante, entonces se puede decir que
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(7.2) |
en donde es el ángulo que existe entre la línea de
aplicación de la fuerza y el desplazamiento del cuerpo.
Se tiene así que una fuerza aplicada
perpendicularmente a un desplazamiento no produce trabajo. Por ejemplo,
avanzar horizontalmente mientras se sujeta una bolsa no produce trabajo, porque
la fuerza aplicada es vertical y, por tanto, perpendicular al desplazamiento.
¿Cómo se puede entender esto intuitivamente?. Realmente uno asocia la palabra
trabajo con ``cansancio'' y, por tanto, parece que llevar una pesada bolsa
debería producir trabajo físico, porque cansa. Para entender esta situación
podemos pensar que realmente no es necesario sujetar personalmente la bolsa a
cierta distancia del suelo, puesto que esta misma acción puede realizarla un
soporte con ruedas, por lo que el trabajo auténtico consiste en desplazar el
objeto paralelamente a las fuerzas que se oponen a él, como podría ser en este
caso el rozamiento del soporte con el suelo.
¿Cuánto es el trabajo que produce la normal
sobre un cuerpo que realiza un desplazamiento sobre una superficie
cualesquiera?
Ninguno, porque la fuerza normal siempre
es perpendicular al desplazamiento del cuerpo y por tanto, el trabajo
(producido por la normal) será nulo.
Ahora bien. ¿Cómo podemos definir el trabajo si la fuerza es variable, o si la trayectoria es curva?. En ese caso suponemos válida la definición de trabajo para una trayectoria muy pequeña (infinitésima) y sumamos (integramos) a todos los ``pequeños trozos de trayectoria''.
Es decir:
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(7.3) |
Un niño arrastra un trineo durante 100
metros. Para hacerlo tira de una cuerda con una fuerza de 80 Newton formando un
ángulo con el suelo de
.
¿Cuál es el trabajo producido?
Utilizando la fórmula (7.2) tenemos simplemente que:
Las
definiciones de trabajo son:
Trabajo conservativo es aquel producido por las fuerzas
conservativas. Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza no depende
del recorrido sino sólo de los puntos inicial y final, es decir,
independientemente del itinerario seguido. Si un cuerpo se desplaza desde un
punto hasta
otro
bajo
la acción de una fuerza conservativa el trabajo realizado por dicha fuerza será
el mismo independientemente del itinerario del cuerpo.
Estas fuerzas son muy
importantes porque para ellas se puede definir una magnitud denominada energía
potencial (ver 7.5.2). Ejemplos de fuerzas conservativas
son las fuerzas constantes (aquellas cuyo valor es el mismo para todos los
puntos del espacio) y centrales (las que presentan la forma funcional ).
Trabajo
conservativo es aquél que sólo depende de los puntos inicial y final de la
trayectoria.
La potencia se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo, es decir
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(7.4) |
donde, si el trabajo es constante, se puede expresar como
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(7.5) |
y si la fuerza es constante se puede decir que
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(7.6) |
La unidad de la potencia es el
Watt o Vatio. ().
Potencia
es el trabajo realizado por unidad de tiempo.
La
magnitud potencia puede servir para entender algunas situaciones de la vida
cotidiana. Por ejemplo los motores de los coches (suponiendo que la presión que
se ejerce sobre el acelerador es constante) desarrollan una potencia que
podemos considerar constante. Esto supone que, como se deduce de la fórmula (7.6) la fuerza que puede desarrollar el
motor multiplicada por la velocidad es constante. ¿Qué podemos explicar con
esto?. Supongamos que un automóvil está ascendiendo por un puerto, y por tanto
su motor debe de realizar una fuerza bastante considerable para contrarrestar
la componente del peso que ``tira de él hacia atrás''. El conductor se ve
obligado a ir en una marcha corta, lo cual significa que la relación entre la
fuerza y la velocidad va a ser de mucha fuerza frente a poca velocidad. El
mismo conductor en cambio, en un llano, puede ir en una marcha muy larga y a
gran velocidad, porque la fuerza que debe desarrollar el motor es poca,
únicamente para vencer los rozamientos.
Si este conductor es adelantado por un coche de gran potencia verá como, efectivamente, si la potencia es mayor, el coche que le adelante puede desarrollar la misma fuerza que se necesita para ascender por el puerto, pero a una velocidad mayor.
Calcula
la potencia que debe tener una bomba de agua para ascender mil litros de agua
por minuto a una altura de 10 metros.
Primero
calculemos el trabajo que debe realizar esta bomba para ascender este agua.
Usando la fórmula para fuerzas constantes y notando que la fuerza que debe
realizar la bomba es paralela al desplazamiento y de módulo igual al peso del
agua que ha de ascender tendremos que,
Aplicando ahora la ecuación de la potencia (7.5) tendremos que
Se considera tácitamente la energía como la capacidad para hacer un trabajo, o bien el trabajo ``acumulado'' por un cuerpo.
El concepto de energía es uno de los más fructíferos de toda la física, pero también es bastante abstracto, dada la gran diversidad de formas en las que aparece, por ello iremos viendo algunas, aunque antes necesitaremos definir unos conceptos previos.
Energía cinética es la que tiene un cuerpo por desplazarse a determinada velocidad. Realmente resulta un poco sorprendente que un cuerpo, por el mero hecho de moverse, tenga un tipo de energía, pero no tenemos más que pensar que efectivamente, en caso de un choque, por ejemplo, este cuerpo es capaz de producir un trabajo (de deformación, o del tipo que sea) y por tanto, debe de tener una energía.
Se puede demostrar la existencia
de la energía cinética de varias formas. Una manera (que se deja como ejercicio
al lector) es suponer que se está aplicando una fuerza constante sobre un
cuerpo y que, por tanto, utilizando la ley de Newton ,
tendremos un cuerpo sometido a una aceleración constante y, usando las
ecuaciones del movimiento, relacionar la cantidad trabajo, que será
con
la velocidad.
Otra forma es calcular el trabajo que desarrolla un cuerpo sometido a una cierta fuerza paralela (para simplificar el cálculo) del tipo que sea. Utilizando (7.3) tenemos que
Con lo cual se puede ver que el trabajo ``se acumula'' en forma de energía cinética cuya fórmula es
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(7.7) |
Energía
cinética es la energía que tiene un cuerpo por desplazarse con cierta velocidad
y su valor es
En
algunos libros de física se denomina a la energía cinética como
.
Es más correcto expresarlo como
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(7.8) |
éste es el llamado teorema de las fuerzas vivas.
Para resolver un problema utilizando este teorema habrá que elegir unos instantes 1 y 2 y, calculando el trabajo y la energía en cada uno de estos instantes, el teorema nos permitirá relacionar una de estas magnitudes con el resto. Generalmente se busca una velocidad y se tiene el resto de datos. Hay que elegir convenientemente los puntos 1 y 2 para obtener lo que deseamos y, además, intentar que el máximo número de estas magnitudes sea nulo, lo cual facilita el cálculo.
Se
aplica una fuerza horizontal de
a
un cuerpo de
que
está inicialmente en reposo. ¿A qué velocidad se moverá al cabo de 20 metros?.
Apliquemos
el teorema de las fuerzas vivas (7.8) a este problema y tendremos que
siendo y
los
instantes inicial y final, respectivamente. Vemos que, en este caso,
es
nula, porque el cuerpo parte del reposo, y que el trabajo será, como la fuerza
es paralela al desplazamiento,
. Tendremos entonces que
y por tanto
La energía potencial es aquella relacionada con fuerzas conservativas. Se define la energía potencial en un punto de tal forma que se cumpla
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(7.9) |
.
Igualmente, unificando las definiciones (7.3) y (7.9) se puede decir que
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(7.10) |
es decir, el trabajo realizado por una fuerza conservativa
equivale a la disminución de la energía potencial, donde hemos llamado .
Es muy importante darse cuenta
de la aparición del signo en
la fórmula (7.10), consecuencia de la definición (7.9) anterior. Dicho signo aparece también
en las ecuaciones (7.11), (7.12), (7.13), y (7.14).
Otra
notación para la energía potencial es, en vez de llamarla
,
denominarla
.
Intuitivamente
la energía potencial es la que tiene un cuerpo por el mero hecho de ocupar una
determinada posición en el espacio. Así por ejemplo, veremos más adelante,
concretamente en 7.5.2, que un cuerpo que se encuentre a una
cierta altura
sobre
la superficie terrestre presenta, sólo por este hecho, una energía potencial.
Podemos entender esto dándonos cuenta de que, efectivamente, un cuerpo, por el
mero hecho de estar elevado respecto al suelo, tiene energía, puesto que puede
caer al suelo y, por tanto, desarrollar un trabajo durante su caída.
Aplicando la definición de potencial indicada en (7.10) tendremos que
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(7.11) |
Se tiene que
siendo la
altura sobre el suelo o el nivel 0. En la integral aparece (-g) ya que el
sentido de la fuerza de la gravedad es contrario al sentido en que se toman las
alturas.
La
energía potencial cuando el valor de
se
puede tomar constante es
Como se puede ver más ampliamente en (11.1) todos los cuerpos se atraen entre sí con una fuerza que se rige por la ley de Newton de la gravitación universal, es decir, que el módulo de la fuerza de atracción es
en donde el signo ``''
nos informa de que el sentido siempre es de atracción.
Así pues para calcular la
energía potencial que un cuerpo de masa tiene
por estar a una distancia
de
otro de masa
no
habrá más que calcular
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(7.12) |
Energía
potencial gravitatoria (en el caso general) es
Tanto
en esta fórmula como en la fórmula (7.14) un análisis del significado estas
expresiones y, más concretamente, de la presencia de una
en
el denominador, nos indica que, para estas dos fórmulas, el origen de las
energías se toma en el infinito, es decir, que la energía potencial de un
planeta (por ejemplo) es nula, cuando este planeta está totalmente aislado, es
decir, infinitamente alejado, del otro.
Para muelles y sistemas de fuerzas centrales que cumplan se tiene que, (tomando una única
dimensión)
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(7.13) |
La
energía potencial de un sistema que obedece a la ley de Hooke es
Dadas dos partículas con cargas y
,
se comenta en el apartado 12.1 como el módulo de la fuerza de
atracción entre ambas cargas es
siendo la
distancia que existe entre ambas cargas. De esta forma se puede extraer fácilmente
que la energía potencial electrostática será
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(7.14) |
Energía
potencial entre dos partículas cargadas es
Cuando en un sistema sólo aparecen fuerzas conservativas, se tiene entonces que se cumple el siguiente teorema de conservación de la energía
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(7.15) |
Siendo y
dos
momentos cualesquiera en la evolución de la partícula, y
y
la
suma de todas las energías potenciales que tenga el cuerpo en los puntos
y
.
Este teorema es muy útil para la resolución de ciertos aspectos de los problemas, sobre todo los relacionados con la obtención de la velocidad en determinados instantes en un sistema conservativo. Esto se debe a que, por ejemplo, en un movimiento sin rozamientos de un cuerpo bajo el campo gravitatorio terrestre en superficie, particularizando (7.15) tenemos
de donde podremos despejar fácilmente la velocidad en uno y otro instante según los datos que conozcamos.
El
teorema de conservación de la energía dice que la energía total en todos los
instantes es la misma, siendo la energía total la suma de las energías
cinéticas más las potenciales.
Un
cuerpo desliza sin rozamiento por una pista de hielo. Si parte del reposo desde
una altura de 7 metros sobre el suelo. ¿A qué velocidad estará cuando se
encuentre tan sólo a 1 metro sobre el suelo?
Llamemos
al
instante inicial, en que encuentra parado y a 7 metros, y
al
segundo instante, cuando viaja a una velocidad
y
se encuentra a tan sólo 1 metro. Tendremos entonces que
en donde ,
,
como parte del reposo
porque
y
denominando
a
la velocidad cuando pasa por el punto
tendremos
que
. Tendremos entonces que
En el caso de que exista rozamiento u otras pérdidas de
energía no conservativas podremos aún seguir usando (7.15) siempre que tengamos la precaución de
introducir esta energía perdida por rozamiento con el signo oportuno. Por
ejemplo si tenemos un problema en el cual aparece la energía potencial en la
superficie terrestre y
también una fuerza de rozamiento podríamos plantear la ecuación de conservación
de la energía entre los instantes 1 y 2 como
donde se ha representado por la
energía que se ha perdido entre dichos instantes.
Cuando
aparezcan trabajos procedentes de fuerzas no conservativas los puedes poner
como
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(7.16) |
Donde es
el trabajo no conservativo.
A su vez el trabajo de
rozamiento puede calcularse teniendo presente que y
que
porque
el rozamiento siempre se opone al desplazamiento. De esta forma se tendría que
pero,
como el término
se
sitúa en el miembro derecho de la ecuación (7.16) con valor positivo, simplemente
donde es
la normal y
es
el desplazamiento que ha realizado el cuerpo, es decir, la distancia durante la
cual ha experimentado el rozamiento.
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Figura: ¿A qué velocidad llegará al final?. |
Dejamos
caer desde el reposo un cuerpo de masa
por
una rampa de
grados
de inclinación desde una altura
(ver
figura 7.1). Si la rampa ofrece un coeficiente de
rozamiento
.
¿A qué velocidad llegará al suelo?
Planteemos
la ecuación de conservación de la energía expresada en (7.16) y analicemos el valor de cada
término. Antes llamaremos
al
instante en el cual el cuerpo se encuentra a cierta altura
y
cuando
el cuerpo está ya al nivel del suelo con una velocidad
.
Así tendremos que
Donde queda por precisar que es
el espacio total recorrido por el cuerpo mientras bajaba por la rampa. Teniendo
en cuenta que el espacio
es
la hipotenusa de un triángulo rectángulo donde un ángulo mide
y
su lado opuesto mide
,
se tiene que
.
Respecto a la normal ,
como se ha visto ya en 6.6, su valor será
por
lo que el valor de
en
función de parámetros conocidos será
.
Por fin utilizando (7.16) tenemos que
y despejando se
obtiene la solución, que es,
Como
consecuencia del problema anterior ¿Para qué relación entre
y
el
cuerpo no podría bajar por la rampa?.
El impulso surge de integrar la fuerza respecto al tiempo.
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(7.17) |
O lo que es lo mismo,
Sabiendo
que podemos expresar un incremento infinitesimal de energía potencial como
y que la regla de derivación de la cadena para varias dimensiones nos dice que
tenemos entonces una interesante relación7.1 que nos dice que
A raíz de esto se puede definir matemáticamente el gradiente
de un escalar como nabla por dicho escalar. Por nabla se
define al ``vector7.2'' . La notación
supone derivar la función
respecto
a la variable
y
considerar el resto de variables, (
,
,
etc.) como si fueran constantes.
Con esto podemos definir el vector fuerza como
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(7.18) |
Las propiedades matemáticas del gradiente son muy interesantes, aunque exceden ampliamente el nivel de este libro.
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