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Para simplificar mucho la explicación de la rotación en
los cuerpos se toma siempre un modelo de cómo son estos cuerpos que se denomina
sólido rígido. Este modelo consiste en considerar que los cuerpos, los
sólidos tomados, son absolutamente indeformables, son rígidos. Matemáticamente
se puede expresar de una manera más rigurosa diciendo que la distancia entre
sus partículas no cambia. Dada una partícula y
otra
del
sistema que consideremos siempre se tendrá que
siendo
una
constante cualesquiera.
Para un cuerpo de este tipo, por
tanto, conociendo dónde está en un momento determinado una partícula y el
ángulo de rotación del cuerpo respecto a la posición
original, conocemos el resto de las posiciones de los puntos.
El estudio de la dinámica de la rotación se puede hacer sencillo teniendo presentes las siguientes analogías entre la dinámica normal y ésta.
traslación |
Rotación |
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Cuando un cuerpo sufre una aceleración es porque tiene una
causa que lo provoca. Newton descubrió que es la fuerza la causa
de que esto suceda. ¿Cuál es la causa de una rotación?. Es el momento de una
fuerza. Una deducción fácil, clara y divertida se puede encontrar en [1]. De momento aquí se expondrá su
definición y propiedades. Como tomando
será
igual a
siendo
el
ángulo formado entre el vector
y
.
Por tanto la componente perpendicular al vector posición es la que interviene
realmente en la rotación.
La
componente de la fuerza perpendicular al vector posición es la que realmente
interviene en la rotación.
En dinámica de traslación la variación del momento lineal respecto
al tiempo es denominada fuerza. Parece lógico suponer que debiera existir
alguna magnitud análoga en dinámica de rotación tal que su derivada temporal
nos proporcione también la causa, es decir, el momento de las fuerzas
.
Como
probemos a tomar
siendo
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(9.1) |
y ver que sucede al ser derivado. Es sencillo llegar a la
conclusión de que, efectivamente, esta magnitud es la análoga del momento
lineal en
cuanto que al ser derivada se obtiene
.
Derivar
esta magnitud no es complicado, razonando que un producto vectorial no es sino
un producto combinado de las componentes de un vector no parece descabellado
admitir que
Así tenemos que
en donde es sencillo darse cuenta de que y que
. Tenemos entonces un primer
sumando que será
por se el producto vectorial de
dos vectores paralelos, y un segundo sumando que es, efectivamente, igual a
.
También se puede expresar en
función del momento de inercia
como
La
igualdad
se
puede conseguir tomando un sólido rígido y calculando cuanto será su momento
angular. Para una determinada partícula tendremos que
.
De aquí sólo resulta interesante conocer cuanto será la proyección de este
valor sobre el eje
que
vamos a tomar en este caso como el eje de rotación. Esta proyección se logra
multiplicando
por
el
,
siendo
el
ángulo formado por
con
el eje de giro. Así tenemos que
siendo la
distancia de la partícula
al
eje. Todo esto se puede expresar ahora fácilmente como
puesto que se define . Existen algunos ejes en un cuerpo,
generalmente ejes de simetría, tales que si el cuerpo rota alrededor de estos
ejes, el momento angular total es paralelo al eje de rotación, y por tanto para
ellos
.
En estos casos se puede escribir que
El
momento angular total como vector
no
tiene por qué estar en la dirección del eje de rotación si este eje no coincide
con alguno de simetría del cuerpo.
Se ha visto ya en apartados anteriores la importancia
relativa del momento de inercia como
el análogo de la masa para las rotaciones.
El
momento de inercia es el análogo de la masa para una rotación.
Para sistemas discretos este momento de inercia se expresa como
donde representa
la distancia de la partícula al eje de rotación. Pero normalmente se tiene
cuerpos reales, formados por tal cantidad de átomos, de pequeñas partículas que
se les supone continuos. Para ellos la fórmula de cálculo del momento de
inercia es
No obstante, a la hora de determinar el momento de inercia de un determinado cuerpo es interesante conocer que
El teorema de Steiner relaciona el momento de inercia de un eje que pase por el centro de masas de un cuerpo con el momento de inercia que tendría el mismo cuerpo tomando cualquier otro eje paralelo al primero. Esta relación es
donde es
el momento de inercia del cuerpo respecto al eje paralelo al original,
es
el momento de inercia del eje que pasa por el centro de masas,
es
la masa total del cuerpo y
es
la distancia entre estos ejes paralelos.
El
teorema de Steiner relaciona el momento de inercia respecto a un eje que pase
por el centro de masas de un sólido con cualquier otro eje paralelo a él.
El momento de inercia de una figura plana respecto a un eje perpendicular a la figura es igual a la suma de los momentos de inercia de dos ejes que estén contenidos en el plano de la figura, corten al eje perpendicular y sean todos perpendiculares entre si.
Dibujo de una figura plana.
Es decir, dado el dibujo de la
figura 9.1 tendremos que . Este teorema nos sirve, por ejemplo, para
calcular fácilmente el momento de inercia de un anillo. Respecto al eje que
pasa por el centro del anillo, como toda la masa está situada a la misma
distancia tenemos que su momento de inercia será de
(es
trivial, como dicen los matemáticos). Además como el anillo tiene mucha
simetría el momento de inercia de un eje que esté contenido en el plano del
anillo será igual al de otro eje también contenido en el plano pero
perpendicular al eje anterior, ya que el anillo ``se ve igual''. Si llamamos a
este otro momento
poniendo
de
plano, tendremos que
.
El
teorema de los ejes perpendiculares sólo se aplica a las figuras planas y
permite relacionar el momento perpendicular al plano de la figura con los
momentos de otros dos ejes contenidos en el plano de la figura.
Si llamamos al momento de inercia de un cuerpo respecto a
un punto, y no un eje, tendremos
que
Como demostración basta darse
cuenta que el momento será
frente a los momentos
Sabemos ya que y que cuando la rotación es alrededor de un
eje de simetría9.2
.
Introduciendo esta
en
la fórmula anterior tenemos sencillamente que
|
(9.2) |
donde es
la derivada de
respecto
al tiempo, es decir, será la aceleración angular.
De esta manera la ecuación (9.2) nos proporciona una relación entre los
momentos aplicados a un cuerpo y la aceleración angular que logra alcanzar ese
cuerpo. En muchos casos, como se puede ver en 9.7.1 y 9.7.2 se puede establecer una relación
entre y
.
A partir de la fórmula (9.2) y, de manera análoga a como lo planteamos con la dinámica de traslación, se puede establecer que cuando no actúa ningún momento externo sobre un sistema de partículas o un cuerpo rígido, su momento angular se mantiene constante, teniéndose entonces que
Ésta es una igualdad muy útil para resolver situaciones en
las que el cuerpo varía su forma, y por tanto su momento de inercia ,
pero sin que existan momentos externos. Una explicación más detallada se
encuentra en 9.7.6.
Cuando
no actúan momentos externos sobre un sistema de partículas su momento angular
permanece
constante.
Al igual que un cuerpo con una cierta velocidad presenta
una energía cinética igual a
, los cuerpos que rotan tienen una energía
asociada a esta rotación que, por analogía, resulta ser
También
se puede razonar tomando
y, como
tendremos
que, extrayendo factor común
resultará ser
Cuando, además, el cuerpo está girando con respecto a un eje que pase por su centro de masas la energía cinética total es igual a la de traslación del centro de masas más la de rotación, es decir
siendo la
masa total del cuerpo y
e
la
velocidad del centro de masas y el momento de inercia del cuerpo cuando rota
por un eje que pase por el centro de masas, respectivamente.
Se detallan a continuación algunas situaciones fácilmente resolubles y características en las cuales se aplican las fórmulas anteriores de dinámica de rotación.
Cuando un cuerpo rueda sin deslizarse se establece una
ligadura, hablando en lenguaje físico, entre el ángulo que rota el cuerpo y la
distancia que avanza. Para un cuerpo redondo, que es el caso común, ,
siendo
el
radio de la figura. Esto es muy lógico porque si el camino que va recorriendo
el móvil fuera mayor que la longitud de cuerpo que toca el suelo necesariamente
debería haber algún tipo de deslizamiento.
Teniendo esta igualdad es muy fácil establecer que
En problemas en los que aparezcan poleas, como éstas giran alrededor de su centro de masas y su momento de inercia será el de un círculo (o un cilindro, si es tridimensional), tendremos ya toda la situación conocida.
En aquellos problemas en los cuales, no existiendo movimiento de ningún tipo, se nos pida calcular la geometría de alguna estructura o bien las fuerzas de acción o de reacción que hay que tener para mantener la estructura en equilibrio basta con aplicar dos fórmulas.
Esta ecuación se descompondrá en tantas como dimensiones tenga el problema.
Con estas ecuaciones aplicadas con cierta intuición a algunos puntos concretos del sistema se pueden resolver este tipo de problemas.
Para ello hay que aplicar la ecuación general de la dinámica de rotación.
Para la resolución de los problemas de cálculo de momentos de inercia es habitual el planteamiento según algunos distintos tipos.
En aquellos problemas en los
cuales varíe la forma de un cuerpo pero no existan momentos externos es muy
útil la aplicación del principio de conservación del momento angular. Tomando
un instante y
otro
inicial
y final tendremos que
y,
por tanto
relación de la que conocidos tres datos podremos extraer el cuarto.
Esta
es la razón por la que las patinadoras sobre hielo, cuando encogen los brazos,
van angularmente más deprisa. Al disminuir su
resulta
que
debe
aumentar para mantener constante el momento angular.
Si tenemos un caso de un cuerpo simétrico que rueda respecto a un eje que pasa por su centro de masas y todas las fuerzas externas son conservativas, podremos aplicar el teorema de conservación de la energía y tendremos que
En este caso además
Además, si el cuerpo rueda sin deslizar se podrá
relacionar y
mediante
.
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