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La ley de Newton es muy útil para indagar cómo se
mueve un cuerpo sometido a una cierta fuerza, pero no obstante hay algunas
situaciones en las cuales hay que indagar cual es la fuerza a la que se ve
sometido un cuerpo determinado. Entre estas fuerzas las más conocidas son la
gravitatoria y la electrostática, de aspecto muy similar pero orígenes
distintos.
No obstante estas fuerzas aparecen gracias a una extraña ``acción a distancia''. Para evitar este concepto se introduce el concepto de campo, como una ``deformación'' que sufre el espacio11.1que posibilita esta acción a distancia entre unas partículas y otras.
Esta ley, descubierta por Newton, afirma que dos masas cualesquiera experimentan una atracción entre ellas en la línea que une sus cuerpos y que dicha atracción es proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, es decir
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(11.1) |
En esta ley si tomamos podemos decir también
que
Donde es
la masa de un cuerpo,
la
del otro,
el
módulo de la distancia que hay entre ellos, que podemos expresar como
y
es
la constante de gravitación universal cuyo valor experimental es aproximadamente
Estas leyes de índole empírica son
La ley descubierta por Newton se aplica al hallar la fuerza de atracción entre dos únicos cuerpos puntuales. Por eso es lógico preguntarse que sucederá cuando tenemos tres o más cuerpos que se atraen gravitatoriamente entre sí. Para ello se ha descubierto el principio de superposición.
Este principio indica simplemente que, a la hora de calcular cual será la fuerza que siente una partícula por otro conjunto de partículas, basta sumar vectorialmente las fuerzas.
Esta propiedad, pese a que estamos acostumbrados a ella, no deja de ser sorprendente. De alguna forma la perturbación que se crea en el espacio y que logra que los cuerpos se atraigan, es independiente de si ya existe otra perturbación creada por el mismo cuerpo, y simplemente se suman sus resultados respectivos para formar el total.
Esta
propiedad general que presenta la física en muchos campos se suele llamar
linealidad. También a veces se habla de física lineal, óptica lineal, etc...
indicando aquellos ámbitos en los que es válido afirmar que la perturbación
total es simplemente la suma de las perturbaciones parciales.
Para un conjunto de partículas la
fuerza gravitatoria que experimenta una partícula es, simplemente, la suma de
los vectores de cada una de las fuerzas involucradas.
Podemos decir que cuando un planeta gira alrededor del Sol es debido a que el Sol ``tira'' de él, a través de los millones de kilómetros de espacio vacío e inerte, usando para ello un concepto denominado ``acción a distancia'', es decir, esta misteriosa capacidad de lograr que un cuerpo afecte a otro sin que ``haya nada en medio''. No obstante otra forma más física de interpretar el mismo suceso es suponer que el Sol crea algún tipo de perturbación, crea una entidad que hace que, cuando un planeta se sitúa en el mismo espacio, éste se sienta atraído. A esta perturbación es a la que denomina campo.
¿Pero
por qué afirmar que es más físico suponer la existencia de este campo?. Para
ello valgámonos de un ejemplo sencillo. Si en un estanque en el cual hay
bastantes olas porque un niño se está bañando enfrente, nosotros dejamos caer
un corcho de una botella observaremos que éste oscila. La interpretación de
``acción a distancia'' postularía que es el niño el que, de una forma quizás ``misteriosa''
ha logrado hacer oscilar el corcho. La interpretación de campo sostiene que el
niño crea una perturbación en el medio, en este caso el agua, que se transmite
y llega hasta el corcho, haciéndole oscilar. Incluso podríamos ver que, como
las ondas son esféricas y se van haciendo cada vez más grandes, si su energía
permanece constante, como ha de repartirse entre la longitud de la onda total,
que es
, su efecto decrecerá con el inverso de la
distancia. Podríamos postular así la ley de acción a distancia del niño sobre los
corchos de botella como ``todo niño en un estanque genera una fuerza
oscilatoria sobre los corchos de los alrededores que depende directamente de la
fuerza del niño e inversamente de la distancia a dicho niño'', pero no obstante
es mucho más natural pensar que el niño se limita a realizar una perturbación
que afecta tarde o temprano al corcho.
Estas dos formas de ver el mismo fenómeno, no obstante, dejan claras dos diferencias extraordinariamente importantes:
Partiendo de la ecuación (11.1) de Newton para la
gravitación podemos ver que, si consideramos un cuerpo aislado, podemos suponer
que este ejerce un campo igual a la fuerza que experimentaría una partícula de
masa dividido,
precisamente, por esta masa
.
Así tenemos que el campo gravitatorio, que llamaremos
es, simplemente
El campo gravitatorio
que existe en cualquier sitio del espacio es
igual a la fuerza neta que experimentaría una partícula de masa
en
dicho punto dividida por esa misma masa.
De esta manera, de forma
general, tendremos que el campo que genera una partícula de masa
será
Resulta muy interesante hacer un estudio sobre la energía potencial que puede tener un cuerpo por el hecho de estar sumergido en un campo gravitatorio. Sabemos ya que los campos gravitatorios producidos por una partícula puntual, serán centrales y que toda fuerza central es conservativa y, por tanto, tendrá una energía potencial. Ahora bien, saber cuál será ésta puede ser o no sencillo. Veremos en este caso cuál es dicha energía potencial gravitatoria.
La energía potencial es fácilmente obtenible a través del trabajo que supone desplazar una partícula o cuerpo desde una posición hasta otra. Esto es así porque esta magnitud nos expresa una cierta energía ``especial'', ya que la tiene el cuerpo por ocupar una posición, y la energía está íntimamente relacionada con el trabajo. Así podemos plantear cuál será dicho trabajo como
Como dicho trabajo resulta venir de una fuerza conservativa central emplearemos la misma técnica que se usaba para ver que las fuerzas centrales eran conservativas: separamos mentalmente la trayectoria en órbitas perpendiculares a la fuerza, en las cuales el trabajo será cero, y otras paralelas a dicha fuerza. En las fuerzas centrales las órbitas perpendiculares en todo punto a la fuerza resultan ser círculos concéntricos. Así pues sólo va a intervenir el trabajo realizado por alejar o acercar un cuerpo del origen, y la ecuación anterior pasará a ser
en donde sólo intervienen los módulos. Basta ahora
recordar que para obtener que
Como tenemos por fin que:
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(11.2) |
Recordando el principio de
superposición enunciado en 11.2.3, para calcular la fuerza que sobre una
partícula de masa y
radio
ejerce un sistema de
partículas
con masas
y radios
basta ``sumar'' todos los campos producidos,
esto es
Si debemos calcular la fuerza gravitatoria que ejerce un cuerpo continuo deberemos, aplicando el principio enunciado en 11.2.3, ``sumar'' todas las contribuciones. Para una suma continua hemos de recurrir al cálculo integrar y lograr así conseguir
Después como se hace usualmente se reemplaza por
y se integra.
Esta integración, que en el caso general
puede resultar complicada, queda muy simplificada en problemas que presenten
simetría eligiendo adecuadamente el sistema de coordenadas.
Para resolver problemas de satélites generalmente basta con lograr relacionar su velocidad con la altura a la que órbita. Para ello se supone que describen una órbita circular a velocidad angular constante y que, por tanto, debe existir una fuerza que proporcione la aceleración normal necesaria. Esta fuerza es la gravitatoria.
Sabiendo entonces que
y relacionando con
otras magnitudes como
y
suele bastar para sacar estos
problemas.
Se llama velocidad de escape a aquella que hay que dar a un cuerpo para que logre desligarse de la atracción gravitatoria a la que se encuentra sometido. Como desligar a un cuerpo de la atracción gravitatoria supone en cierta medida aislarlo del cuerpo que lo atrae, necesitaremos que la energía que tenga dicho cuerpo, sea, por lo menos, nula. En caso contrario tendrá una cierta energía potencial negativa, que supondrá que aún se encuentra ligado con el sistema que le atrae. Así pues tomando que la energía total, suma de cinética y potencial debe ser cero, tendremos que
y de aquí se puede extraer dicha conclusión. Se ha aplicado la ecuación (11.2). Es notable que la resolución de este problema supone el claro entendimiento de la sección 11.4.
El valor de en la superficie de un planeta será
sencillamente el valor que el campo
tiene en dicho punto y, por tanto
donde es
la masa del planeta y
el
radio que dicho planeta tiene.
Para algunos sólidos simples o
que presenten simetría se puede calcular con relativa sencillez la atracción
gravitatoria que ejercen, o su campo . Generalmente bastará integrar en unos casos
y aplicar astutamente el teorema de Gauss en otros.
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Figura
11.1: Campo |
Para lograr calcular cual puede ser el campo que se ejerce
a una distancia de
una varilla delgada, como la de la figura 11.1 tomemos un punto cualquiera a
una distancia
.
La pequeña masa
generará
un campo
que será
En estos casos siempre se toma la varilla homogénea, de
donde , aunque si no lo fuera tendríamos
que
y se integra entre los extremos que
hay masa, es decir,
variando
entre
y
.
Así tenemos que
donde hemos sustituido .
Si tenemos un plano infinito y queremos hallar el campo en
cualquier punto tendremos que, necesariamente, en dicho punto el campo tiene
que ser perpendicular al plano. Esto es así porque al ser el plano infinito en
cualquier zona que estemos estamos ``en el medio del plano'', es decir, hay la
misma cantidad de masa en todas las direcciones. Podemos usar el
teorema de Gauss para resolver este problema. Tomando como superficie un
cilindro perpendicular al plano y de tal manera que la mitad este a un lado y
la otra mitad al otro tendremos que el flujo total que atraviesa será donde
siendo
la densidad superficial y
el
área que encierra el cilindro, que será la misma que la de su tapa. EL flujo se
puede calcular fácilmente. Será solamente el de las tapas, pues los bordes
resultan paralelos al campo que, como hemos dicho antes, es perpendicular. En
las tapas, por simetría, el campo será el mismo a lo largo de toda la tapa, y
como además será perpendicular a ella tendremos que el flujo total resulta ser
donde el 2 es debido a que tiene dos tapas, y
es
sencillamente el campo por la superficie que, en este caso particular y
sencillo, nos dará el flujo.
Relacionando ahora con la
ecuación de Gauss anteriormente escrita tenemos que y de esta manera
deducimos que
que, de forma un tanto sorprendente,
no depende de la distancia a la que estemos del plano.
Como ejercicio puede ser interesante
plantearse el campo gravitatorio que generaría un hilo recto homogéneo
infinitamente largo.
Si tenemos un objeto esférico homogéneo podemos decir, por
simetría, que el campo que genere será central. Entonces tomaremos como
superficie de Gauss una esfera más grande que el objeto, concéntrica con él y
cuyo radio, tomando como origen el centro del objeto, sea .
Dado que el campo de la esfera es central éste cortará perpendicularmente a la
superficie de Gauss en todo punto, de donde el flujo será sencillamente
pues
es
el módulo del campo, aún no sabemos cuanto, y
la superficie total de la esfera que usamos
como superficie de Gauss.
Igualando este resultado con (10.2) tendremos que
y, por tanto, el resultado es que la esfera actúa como si toda su masa estuviera concentrada en su centro, pues
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