|
Hay muchas situaciones en física en las cuales la fuerza que siente una partícula en cierto sistema es proporcional a un desplazamiento respecto cierto punto ``de equilibrio''. Es decir, existen sistemas para los cuales es válida la ley de Hooke
|
(13.1) |
o al menos, lo es manteniendo el móvil entre ciertos límites. Estos sistemas se dice de ellos que describen un movimiento armónico simple.
La intención de este apartado es estudiar este tipo de movimientos, dada su importancia y su sencillez.
En todo el estudio que se haga en este
capítulo se tratará el problema de manera unidimensional.
Se
puede demostrar que la gran mayoría de los sistemas que tiene un punto de
equilibrio estable admiten un tratamiento armónico para pequeñas oscilaciones
en torno a dicho punto. Esto se puede ver desarrollando en serie de Taylor
alrededor del punto y dándose cuenta de que como la primera derivada será nula
el primer término que aparecerá será, precisamente, el término de un potencial
armónico:
.
Si aplicamos la ley de Newton, junto
con la ley de Hooke, obtendremos que
Esta sencilla ecuación es, no
obstante, algo más complicada de resolver que otras anteriores, puesto que las
magnitudes involucradas, y
dependen
La una de la otra, concretamente como
que constituye una ecuación diferencial, ya que involucra
derivadas de funciones con la propias funciones. Resolver esta ecuación está
bastante más allá del ámbito de este curso, pero aún así es fácil darse cuenta
de que las funciones y
van
a tener algo que ver, dado que son las únicas que al ser derivadas dos veces y
sumadas consigo mismas dan nulo. Manipulando algunos coeficientes en estas
funciones y operando se encuentra la solución más general a este movimiento,
que es
|
(13.2) |
y que por tanto constituye la ecuación de movimiento de un sistema que cumpla la ley de Hooke, o bien de un movimiento armónico simple.
En esta ecuación es
la amplitud máxima que puede recorrer el móvil,
es la frecuencia angular de la oscilación, es
decir, el número de ``radianes'' que da en un segundo. Como parece que la
palabra radián no tiene sentido para un muelle, por ejemplo, quizás sea
preferible pensar en la frecuencia del movimiento
es decir, el número de oscilaciones
completas que da en un segundo, o bien tomar
el periodo de la oscilación, que
será el tiempo que tarda nuestro sistema en dar una oscilación completa.
Por último ¿qué será ?.
Notemos que, si tomamos
tendremos
que en el instante 0, el cuerpo que realiza un movimiento estaba en la posición
, por lo que
,
parámetro al que se conoce con el nombre de fase, nos indica cuando empieza
el movimiento.
Fijándose en la ecuación (13.2) se puede observar que, la existencia de una función seno para describir este movimiento, nos va a llevar irremediablemente hacia un movimiento de tipo periódico. Efectivamente, si tuviéramos un resorte perfecto, este estaría oscilando ``eternamente'' describiendo el mismo movimiento en cada oscilación.
Para adivinar cada cuanto se
repite el movimiento bastará igualar el argumento del seno a ,
pues como se sabe
. De esta manera
tendremos que el movimiento se repetirá, esto es, hará un periodo, cuando
, lo cual supone que el periodo
será,
como ya habíamos dicho,
.
Es también frecuente describir
el movimiento armónico simple como la analogía de una proyección sobre el eje o
bien
de
un movimiento circular de velocidad angular constante
.
Para hallar la velocidad que un móvil sometido a una
fuerza armónica presenta en un instante basta
derivar su ecuación del movimiento. Así tendremos que, como
relación que nos ofrece la velocidad de un movimiento
armónico para cualquier instante. Es también común relacionar la velocidad con
la posición, cosa sencilla notando que y que, por tanto
de donde, introduciendo la amplitud en
la raíz cuadrada
y ahora, echando un vistazo a la relación (13.2) se ve que
siendo esta la relación entre y
buscada.
La aceleración a la que se encuentra sometido un móvil que
describe un movimiento armónico simple se puede obtener teniendo presente (13.2)
y que . Por tanto
Si queremos obtener una relación de la aceleración con respecto a la posición del móvil podemos recurrir a observar la similitud entre la ecuación anterior y la que describe la ecuación de movimiento de un m.a.s., o bien utilizando las leyes de Newton y Hooke poner que
Partiendo de la relación de la energía cinética de un móvil, y de la ecuación de velocidad del m.a.s. se tiene que
o, relacionándolo con la posición
¿Es conservativo el movimiento armónico simple? ¿Podemos definir un potencial para él?. La respuesta es sí, por tratarse de una fuerza central13.1. En este caso ¿cuál será el potencial?. Para hallarlo recordamos que
y que, por tanto, tendremos que
siendo ahora ya muy sencillo identificar la energía
potencial en una posición como
Para obtener la energía mecánica o total puesta en juego en un movimiento armónico simple sumaremos las energías potencial y cinética respecto a la posición. Así tendremos que
En el movimiento armónico simple se ve, de
una forma que casi roza en lo magistral, lo que la conservación de la energía
supone en física. En este caso toda la energía está dada por la fórmula
, que es la energía potencial máxima
que alcanza el muelle por separarle una distancia
de
su posición de equilibrio. Más tarde, cuando empieza el movimiento, éste va
adquiriendo energía cinética, siempre a costa de su energía potencial, y por
tanto acercándose a la posición de equilibrio. Cuando el móvil se encuentra en
la posición de equilibrio su energía potencial es nula, pero el cuerpo conserva
una cantidad de energía cinética que se irá ahora utilizando en comprimir otra
vez el muelle hasta su amplitud máxima, y que contribuirá, por tanto, a
incrementar nuevamente la energía potencial. En cualquier caso la suma de ambas
nos dará la energía máxima puesta en juego, que se conserva.
En
un muelle real la conservación de la energía no se cumple, ya que siempre
existen pérdidas por rozamiento. Estas pérdidas dan lugar a lo que se denomina
un movimiento armónico simple amortiguado, ya que la amplitud va disminuyendo
poco a poco, informándonos a su vez de la cantidad de energía que se está
perdiendo.
Una forma de solucionar este fenómeno es aportando algo de energía extra al móvil, para contrarrestar la que pierde por rozamiento. Esto puede dar lugar a resonancias y otros fenómenos físicos muy interesantes.
Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo simple, es decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio constante, es uno de ellos.
Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilación periódica. Para estudiar esta oscilación es necesario proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo momento, y ver que componentes nos interesan y cuales no. Esto se puede observar en la figura 13.1.
|
Figura: Descomposición de las fuerzas en un péndulo. |
Vemos pues que, considerando únicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir, el arco que se está recorriendo, podemos poner
|
(13.3) |
donde no hemos hecho sino aplicar la segunda ley de
Newton. Esto se puede ver considerando que el arco es y, como
es
la longitud del hilo y es constante13.2, la aceleración será
. Por otra parte, aplicando
, en este caso la fuerza es sólo
la de la gravedad,
que
se descompone en una componente, que se contrarresta con la tensión, más otra,
que es la que hace que exista movimiento en la trayectoria marcada por el arco.
Esta ecuación diferencial no es
nada fácil de resolver13.3 y por ello recurrimos a la aproximación
siguiente: suponiendo que el ángulo que desplazamos es pequeño, tomamos que y así tenemos que
|
(13.4) |
que a veces también se expresa como .
Esta ecuación es absolutamente
análoga a la de un movimiento armónico simple, y por tanto su solución también
será (13.2) teniendo, únicamente, la precaución de sustituir el valor de antiguo
por el que tiene ahora para un péndulo
A partir de aquí se pueden extraer todas las demás relaciones para un péndulo simple, el periodo, frecuencia, etc.
Aún no hay comentarios para este recurso.
Monografias, Exámenes, Universidades, Terciarios, Carreras, Cursos, Donde Estudiar, Que Estudiar y más: Desde 1999 brindamos a los estudiantes y docentes un lugar para publicar contenido educativo y nutrirse del conocimiento.
Contacto »