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Ondas

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Introducción. Tipos de ondas. Ecuación general de una onda. Ecuación de una onda armónica. Periodo y frecuencia. Longitud de onda y número de ondas. Consideraciones energéticas de las ondas. Energía. Potencia. Intensidad.

Agregado: 22 de JULIO de 2003 (Por Michel Mosse) | Palabras: 1332 | Votar |
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Categoría: Apuntes y Monografías > Física >
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    Ondas

    Introducción

    Existen en la naturaleza muchos fenómenos de los cuales se dice ``tienen naturaleza ondulatoria'' pero ¿qué es exactamente una onda? ¿Qué propiedades tienen? ¿Cómo se puede formalizar una expresión matemática de un fenómeno ondulatorio?. Estas y otras cuestiones son el tema objeto de este capítulo.

    No obstante, antes de entrar de lleno en lo que es una onda y su formalismo, vamos a definir onda como:

    $\triangleright$Una onda es una perturbación física que transmite energía y momento lineal, pero que no transmite materia.

    En las ondas materiales las partículas concretas que componen el material no se propagan, sino que se limitan a oscilar alrededor de su posición de equilibrio. No obstante cuando una onda se transmite por dicho material se produce una sincronización de oscilaciones entre las distintas partículas componentes del medio que posibilita la propagación de un momento lineal y una energía.

    $\circ$Matemáticamente todas las ondas deben satisfacer la ecuación de ondas, que es

    \begin{displaymath}\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial t^2},\end{displaymath}


    siendo $v$la velocidad de propagación de la onda en el medio. Se podría demostrar (aunque no es trivial) que algunas velocidades de propagación de ondas son $v=\sqrt{\frac{T}{\rho_l}}$para una onda que viaja por una cuerda de densidad lineal $\rho_l$y tensión $T$así como $v=\sqrt{\frac{E}{\rho}}$14.1 para una onda sonora que circula por un medio cuyo módulo de Young sea $E$y densidad sea $\rho$.

    Tipos de ondas

    Podemos establecer criterios de clasificación de las ondas. Algunos serían:

    • Según el medio por el que se propaguen.
      • Ondas que requieren medio material para propagarse. Ejemplo, el sonido.
      • Ondas que no requieren un medio material. Ejemplo, la luz.
    • Según el número de dimensiones que involucran.
      • Unidimensionales. Ejemplo, la propagación del movimiento en una cuerda.
      • Bidimensionales. Ejemplo, olas en la superficie de un líquido.
      • Tridimensionales. Ejemplo, el sonido normal.
    • Según la relación entre la vibración y la dirección de propagación.
      • Transversales. Son aquellas ondas en las cuales la oscilación es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Por ejemplo en una cuerda normal y tensa la onda se propaga de izquierda a derecha (en cierto caso particular) pero, en cambio, la oscilación de un punto concreto de la cuerda se produce de arriba a abajo, es decir, perpendicularmente a la propagación.
      • Longitudinales. En este tipo la propagación es paralela a la oscilación. Como ejemplo, si apretamos un muelle las espiras oscilan de izquierda a derecha y de derecha a izquierda, paralelas en cualquier caso a la dirección de propagación.

    Ecuación general de una onda

    Supongamos que, en una cuerda tensa, creamos una forma $f$en determinado instante y después observamos como se propaga a una velocidad $v$. Esto supone que la deformación que antes había $para t=0$en $x=0$deberá desplazarse de tal forma que, siendo coherente con su velocidad, se encuentre en $x=vt$en un tiempo $t$. Esto se puede lograr considerando la función de onda

    \begin{displaymath} f(x,t)=f\left(t-\frac{x}{v}\right) \end{displaymath}

    (14.1)


    que nos ofrece una ecuación de onda que se desplaza de izquierda a derecha. Si quisiéramos obtener una onda desplazándose de derecha a izquierda bastaría sustituir el signo por uno positivo y tener

    \begin{displaymath}f(x,t)=f\left(t+\frac{x}{v}\right).\end{displaymath}



    Ecuación de una onda armónica

    La ecuación considerada en (14.1), si bien es correcta, no obstante es de una generalidad tan amplia que su estudio no es sencillo y no aportaría tampoco datos muy significativos. Es por eso conveniente particularizar al caso de ondas armónicas, tomando la función $f(t)$como $f(t)=A\sin(\omega t)$tendremos que

    \begin{displaymath}\psi(x,t)=A\sin\left(\omega \left(t-\frac{x}{v}\right)\right).\end{displaymath}


    Esta ecuación presenta una doble periodicidad temporal y espacial que será muy útil estudiar. No obstante antes de hacer un estudio más formal es conveniente plantearse intuitivamente qué está sucediendo en esta onda. Como la función $\sin(x)$es una función periódica que contiene infinitos ``bucles'' significa que, si dejamos el tiempo fijo y nos vamos desplazando por el eje $OX$desde cierto punto, tarde o temprano encontraremos otro punto desde el cual ``se ve la misma forma de la onda''. La distancia entre estos dos puntos se llama longitud de onda $\lambda$y por ``ver la misma forma de la onda'' nos referimos a observar ondas en la misma fase, es decir, si en el primer punto vemos el seno en un máximo, por ejemplo, buscaremos en el segundo punto otra vez el seno en un máximo, o si en el primer punto está el seno en un cero, pero subiendo, buscaremos el segundo punto en la misma situación: un cero subiendo...

    Otra periodicidad que encontramos se nota al tomar la distancia fija e ir variando el tiempo. Dado un cierto instante $t_0$veremos que en un punto fijo $x_0$va variando la posición hasta que, al cabo de un tiempo $t_0+T$$x_0$se encuentra igual que en $t_0$. A esta cantidad $T$se la denomina periodo.

    $\diamond$Quizás se pregunte el lector que utilidad puede tener tomar una función tan particular como la función $\sin(x)$para hacer nuestro desarrollo de las ondas. Esta elección por una razón: Matemáticamente el teorema de Fourier demuestra que toda función $f(x)$puede ponerse como una suma de funciones $\sin(x)$y $\cos(x)$y siempre es más sencillo operar con estas funciones que con la función general $f(x)$.


    Periodo y frecuencia

    Calculemos explícitamente cuanto es $T$. Tenemos una onda particularizada en un tiempo $t_0$y una posición $x_0$, nos dará un desplazamiento en el eje $y$concreto que será

    \begin{displaymath}y_{(t_0,x_0)}(x_0,t_0)=A\sin\left(\omega \left(t_0-\frac{x_0}{v}\right)\right).\end{displaymath}


    Al cabo de un cierto tiempo $T$, cuando el cronómetro marque $t_0+T$debemos tener la misma situación, es decir, $y_{(t_0+T,x_0)}=y_{(t_0,x_0)}$, por tanto

    \begin{displaymath}A\sin\left(\omega \left(t_0-\frac{x_0}{v}\right)\right) = A\sin\left(\omega \left(t_0+T-\frac{x_0}{v}\right)\right).\end{displaymath}


    Esta situación se produce para las funciones seno y coseno cuando su argumento aumenta en una cantidad $2\pi$, con lo cual tenemos que:

    \begin{displaymath}\omega\left(t_0-\frac{x_0}{v}\right) +2\pi = \omega\left(t_0+T-\frac{x_0}{v}\right)\end{displaymath}


    y de esta expresión es sencillo deducir la siguiente, e interesante relación

    \begin{displaymath}T=\frac{2\pi}{\omega}\end{displaymath}


    . Por tanto el periodo está relacionado con la frecuencia angular $\omega$mediante esta relación, que es la misma que para un movimiento armónico simple. Análogamente podemos definir la frecuencia $f$o $\nu$como el inverso del periodo, es decir

    \begin{displaymath}\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}.\end{displaymath}


    En la figura 14.1 se ha representado lo que supone el transcurrir del tiempo para una onda armónica y como ésta se repite al cabo de un tiempo $T$.

    \begin{figure}\begin{center} \mbox{ \psfig{file=figuras/periodo.ps}} \end{center}\end{figure}

    Figura: Periodo de una onda armónica.


    Longitud de onda y número de ondas

    Procedamos de manera similar al apartado 14.3.1 pero fijando ahora el tiempo y dejando que la coordenada $x$varíe desde $x_0$hasta $x_0+\lambda$. Tendremos entonces que

    \begin{displaymath}\omega\left(t_0-\frac{x_0}{v}\right) +2\pi = \omega\left(t_0-\frac{x_0+\lambda}{v}\right)\end{displaymath}


    y esto supondrá la relación:

    \begin{displaymath}\frac{\omega \lambda}{v} = 2\pi\end{displaymath}


    que cuando se pone en función de $T$adquiere el singular aspecto de

    \begin{displaymath}v=\frac{\lambda}{T},\end{displaymath}


    es decir, la velocidad de propagación es el espacio que recorre la propagación en un cierto tiempo dividido por ese tiempo. Tomando el tiempo como un periodo obtenemos que la longitud que recorre es $\lambda$y el tiempo que tarda es $T$.

    Se suele definir también número de ondas como

    \begin{displaymath}k=\frac{2\pi}{\lambda}.\end{displaymath}


    Poniendo así la función de onda armónica en función de $\omega$y $k$queda la sencilla expresión.

    \begin{displaymath}\psi(x,t)=y(x,t)=A\sin(\omega t-kx).\end{displaymath}


    En la figura 14.2 se puede ver de manera gráfica lo que representa la magnitud $\lambda$.

    \begin{figure}\begin{center} \mbox{ \psfig{file=figuras/lambda.ps}} \end{center}\end{figure}

    Figura: Longitud de onda de una onda armónica.

    Consideraciones energéticas de las ondas


    Energía

    Para llegar a la expresión de la energía que propaga una onda vamos a tomar como caso particular el de una onda propagándose por una cuerda tensa. En este caso la energía total involucrada por cada partícula $i$es la que correspondería a un movimiento armónico simple, que puesto en función de la masa y de $\omega$será

    \begin{displaymath}E_i = \frac{1}{2}m_iA^2\omega^2\end{displaymath}


    siendo $m_i$la masa correspondiente a la partícula $i$. La energía total será la suma a toda la cuerda de las energías de cada partícula $i$. Hay que tener en cuenta que la amplitud $A$y la velocidad angular $\omega$van a ser constantes en toda la cuerda, y por tanto

    \begin{displaymath}E = \sum_i E_i = \sum_i \frac{1}{2}m_iA^2\omega^2 = \frac{1}{2}A^2\omega^2\sum_i m_i.\end{displaymath}


    La suma a la Masa de cada partícula será la masa total de la cuerda, que podemos poner en función de su densidad lineal como $m_{total} = \rho_l l$. Con esto nos queda que

    \begin{displaymath} E=\frac{1}{2}A^2\omega^2\rho_l l. \end{displaymath}

    (14.2)



    Potencia

    ¿Cuál será la potencial transmitida?. Para ello basta tener presente que $P=\frac{E}{t}$y, dividiendo así la expresión (14.2) por $t$y considerando que la longitud recorrida en la cuerda por unidad de tiempo va a coincidir con la velocidad de propagación, tendremos que

    \begin{displaymath} P = \frac{1}{2}A^2\omega^2\rho_l v \end{displaymath}

    (14.3)



    Intensidad

    Se define la magnitud intensidad de una onda como la potencia por unidad de área que atraviesa una superficie. Para el caso de una onda plana la intensidad es igual a

    \begin{displaymath}I=\frac{1}{2}A^2\omega^2\rho v.\end{displaymath}

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