Inducción electromagnética

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Introducción. Ley de Faraday-Henry. Ley de Lenz. Fuerza electromotriz. Autoinducción. Inducción mutua. Energía magnética. Problemas y aplicaciones de inducción electromagnética. Generadores. Transformadores. Autoinducción de un solenoide.

Agregado: 22 de JULIO de 2003 (Por Michel Mosse) | Palabras: 1770 | Votar | Sin Votos | Sin comentarios | Agregar Comentario
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Inducción electromagnética

Introducción

La unión de la electricidad y el magnetismo queda patente cuando descubrimos que una intensidad eléctrica es capaz de crear un campo magnético a su alrededor. No obstante la física es una ciencia en la que el pensamiento ``simétrico'' resulta frecuentemente ampliamente productivo, es decir, podemos preguntarnos ¿Y podrá un campo magnético producir un fenómeno eléctrico?. La respuesta a esta pregunta es afirmativa, como veremos a continuación.

Ley de Faraday-Henry

Si uno conecta un galvanómetro a una bobina de conductor, sin nada más, el galvanómetro no deberá señalar nada: por allí no circula corriente de ningún tipo. Pero ahora bien, al acercar o alejar un imán de la bobina descubriría un hecho sorprendente: el galvanómetro marcaría una tenue corriente durante este proceso. Esta experiencia, similar a las llamadas experiencias de Faraday, demuestra claramente que existe una relación entre el campo magnético y el eléctrico.

Si en la experiencia anterior uno acerca un imán a la bobina y lo deja ahí vería que el galvanómetro marca corriente mientras el imán se mueve, pero no cuando le dejamos quieto. Este fenómeno constituye la esencia de la ley de Faraday y Henry, que podemos ya enunciar:

$\begin{displaymath} \epsilon = -\frac{d\phi_B}{dt}. \end{displaymath}$

(17.1)

En esta ecuación $\epsilon$ es la fuerza electromotriz inducida y $\phi_B$ es el flujo magnético que atraviesa la superficie delimitada por el circuito. Así pues la variación del flujo magnético ocasiona la aparición de una fuerza electromotriz. Como el flujo magnético $\phi_B=\vec{B}\cdot\vec{S}$ esta variación puede deberse a tres causas diferenciadas o a una mezcla de todas:

Variación del módulo del campo magnético B.
Variación del módulo de la superficie del circuito S.
Variación de la orientación entre ambos.

$\triangleright$ La variación del flujo magnético induce una fuerza electromotriz.

Ley de Lenz

¿Y qué significa el signo menos en la expresión?. Éste puede deducirse de un principio físico más general, conocido con el nombre de Ley de Lenz que afirma que ``la fuerza electromotriz inducida posee una dirección y sentido tal que tiende a oponerse a la variación que la produce''.

Este principio es una manera más elegante de ``adivinar'' cómo será la f.e.m. inducida en un circuito. Por ejemplo, supongamos que tomamos una espira conductora e introducimos en ella un imán. En este caso el flujo magnético aumenta, lo cual produce una f.e.m. inducida. ¿Qué sentido tendrá?. Aquel que se oponga a la causa que lo produce, es decir, como en este caso es producido por un aumento del flujo magnético el circuito tenderá a disminuir dicho flujo magnético. ¿Y cómo puede lograrse esto?. Haciendo que la intensidad de corriente creada genere a su vez un campo magnético que se oponga al anterior y disminuyendo de esta manera el campo.

De alguna manera este es un mecanismo de ``inercia'' que, en general, presentan todos los sistemas físicos.

Fuerza electromotriz

En general para que en un circuito exista un corriente eléctrica estacionaria debe existir un elemento que suministre esta energía a las cargas. Este elemento puede ser, por ejemplo, una pila o bien un campo magnético variable.

Se define así la fuerza electromotriz como el trabajo realizado por unidad de carga realizado a lo largo del circuito; como el trabajo por unidad de carga es el campo eléctrico tendremos que:

$\begin{displaymath}\epsilon = \oint \vec{E}\cdot d\vec{l}\end{displaymath}$

definiendo la integral a lo largo del circuito. Se ve de esta definición que su unidad va a ser el Voltio, al igual que el potencial eléctrico.

$\diamond$ Entonces ¿por que no llamar también a la fuerza electromotriz?. Cuando tenemos un campo estático, por ser conservativo resulta que

$\begin{displaymath}\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0\end{displaymath}$

lo cual nos permitía definir el potencial eléctrico. Ahora bien, ahora el campo eléctrico no resulta ser conservativo y por lo tanto no podemos definir un potencial, con lo cual aunque $\epsilon$ y sean magnitudes similares que se miden en la misma unidad, no obstante no son la misma cosa.

Autoinducción

Imaginemos ahora que tenemos un circuito eléctrico apagado, con el interruptor de corriente abierto. ¿Qué sucede cuando lo encendemos?.

Puede parecernos que simplemente se crea instantáneamente una corriente en su interior igual a, según la ley de Ohm, $I=\frac{V}{R}$ pero la realidad no es tan simple. Al encender el circuito empieza a aumentar la intensidad por su interior, lo cual genera un campo eléctrico que atraviesa el propio circuito. Este campo es proporcional a la intensidad y por tanto varía junto con la intensidad. La variación del campo crea una variación del flujo magnético, y por lo tanto la aparición de una fuerza electromotriz inducida que se opone a esta intensidad creada. Por tanto el circuito presenta una cierta ``inercia a ser arrancado''.

Ahora bien: ¿Cómo podemos relacionar el flujo magnético que el circuito crea sobre sí mismo?. En principio como el flujo de un circuito, si no se deforma, va a resultar proporcional al campo magnético, y este es proporcional a la intensidad, tendremos que el flujo que el circuito genera sobre sí mismo va a ser proporcional a la intensidad. Esta constante de proporcionalidad se denomina la autoinducción , y se tiene

$\begin{displaymath}\phi = LI\end{displaymath}$

. La unidad de autoinducción en el Sistema Internacional es el henrio (H), equivalente a $1H=1\Omega s$ .

Inducción mutua

De una manera análoga a la anterior si tenemos dos circuitos próximos uno de ellos puede inducir un cierto flujo magnético en el otro (y al revés). El flujo magnético que atraviesa el primer circuito, llamémosle debido a la corriente eléctrica que circula por será proporcional a ésta, y por tanto

$\begin{displaymath}\phi_a = M_{ab}I_b.\end{displaymath}$

Este coeficiente presenta también las mismas unidades que , el henrio, y se llama inductancia mutua.

$\diamond$ Análogamente se tendrá que $phi_b = M_{ba}I_a$ donde, además, se puede demostrar que $M_{ab}=M_{ba}$ , una prueba más de las simetrías tan comunes en física.

Energía magnética

$\begin{figure}\begin{center} \mbox{ \psfig{file=figuras/circuito-RL.ps}} \end{center}\end{figure}$

Figura: Circuito con una resistencia y una autoinducción.

Deducir la expresión de la energía magnética de forma directa no es sencillo, pero en cambio se puede obtener un resultado muy útil utilizando argumentos indirectos en los que la conservación de la energía juega su papel. Supongamos que tenemos el circuito de la figura y analicemos que esta sucediendo. Por la ley de Ohm el efecto de todas las fuerzas electromotrices es generar una , es decir, $\sum \epsilon = IR$ . Podemos atribuir una $\epsilon$ a la pila y una $\epsilon'$ a la f.e.m. que se induce en el circuito. Sabemos que $\epsilon' = - \frac{d\phi}{dt}$ y que para un propio circuito $\phi=LI$ siendo una constante. Tendremos por tanto que

$\begin{displaymath}\epsilon+\epsilon'=IR\ \Rightarrow \epsilon - L\frac{dI}{dt} = IR,\end{displaymath}$

y despejando de aquí la f.e.m. que produce la pila, es decir, $\epsilon$ resultará que

$\begin{displaymath} \epsilon=IR+ L\frac{dI}{dt}. \end{displaymath}$

(17.2)

Sabemos ahora que $\epsilon I$ es toda la potencia que suministra la pila. Multipliquemos entonces toda la ecuación por para ver a donde va a para esa potencia y tendremos que

$\begin{displaymath}\epsilon I=I^2R+ LI\frac{dI}{dt},\end{displaymath}$

es decir, que parte de la potencia se gasta en el efecto Joule (producir calor) y otra parte se va en el término $LI\frac{dI}{dt}$ . Como la potencia es $P=\frac{dE}{dt}$ si llamamos a la energía asociada con el campo magnético que se almacena en la autoinducción tendremos que

$\begin{displaymath}\frac{dE_B}{dt}= LI\frac{dI}{dt}\end{displaymath}$

de donde integrando se tiene que

$\begin{displaymath}E_B= \frac{1}{2}LI^2.\end{displaymath}$

$\circ$ La expresión general del campo magnético contenido en una región del espacio en función de es más difícil de obtener y tiene el siguiente aspecto:

$\begin{displaymath}E_B = \frac{1}{2\mu_0}\int_V B^2dV.\end{displaymath}$

Problemas y aplicaciones de inducción electromagnética

Generadores

Un generador es un dispositivo capaz de producir corriente a partir de otras formas de energía, generalmente a partir de energía mecánica.

La gran mayoría de los generadores consisten en una espira conductora que gira en el interior de un campo magnético constante y homogéneo a velocidad angular $\omega$ también constante. ¿Cómo será su fuerza electromotriz inducida?.

El flujo magnético que atraviesa la espira será igual a $\phi=\vec{B}\cdot \vec{S}= BS\cos \theta$ . En este caso si la espira gira a una velocidad angular constante, esto supondrá que $\theta=\omega t + \phi$ siendo $\phi$ una fase inicial que podemos suponer tranquilamente que es cero. Tendremos por tanto que $\phi= BS\cos (\omega t)$ .

Para calcular $\epsilon$ sabemos que $\epsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ con lo cual directamente obtenemos que $\epsilon = BS\omega \sin(\omega t)$ .

En la práctica se usan solenoides con muchas espiras y otras mejoras técnicas, pero en cualquier caso la f.e.m. producida siempre es del tipo $\epsilon =\epsilon_0 \sin(\omega t)$ .

$\diamond$ Si representamos la f.e.m. inducida en este tipo de generadores en función del tiempo, como en la figura vemos que esta corriente generada es alterna. Esta es una de las razones por las que el uso de la corriente alterna está tan difundido: ya que su generación es mucho más sencilla que la de la corriente continua.

$\begin{figure}\begin{center} \mbox{ \psfig{file=figuras/corriente-alterna.ps,width=7cm}} \end{center}\end{figure}$

Figura 17.2: Corriente alterna.

Transformadores

Un transformador es un aparato capaz de cambiar el voltaje o tensión de la corriente eléctrica alterna. Básicamente están formados por dos solenoides de y espiras arrollados en torno a un núcleo de hierro, como en la figura. Si uno de estos circuitos es alimentado por un generador que produce una f.e.m. $\epsilon_1$ esto producirá un flujo magnético $\phi$ que atravesará cada espira del solenoide. En este circuito, si suponemos que no se pierde energía en calor, etc...tendremos que toda su $\epsilon_1$ se está invirtiendo en flujo magnético y, según y como el flujo total que atraviesa el circuito es el de una espira, $\phi$ por todas las espiras que tiene se obtiene que

$\begin{displaymath}\epsilon_1 = - n_1\frac{d\phi}{dt}.\end{displaymath}$

Veamos que sucede para el circuito 2. El hecho de arrollar ambos circuitos a un núcleo de hierro sirve para que casi todo el flujo (siempre se pierde algo) $\phi$ que atravesaba cada espira del primer circuito lo haga también en las del segundo. De esta manera vamos a suponer que no hay pérdida alguna y que, también para el segundo circuito cada espira es atravesada por el flujo $\phi$ . En este caso se inducirá una corriente $\epsilon_2$ equivalente a la derivada temporal del flujo total con signo menos, esto es

$\begin{displaymath}\epsilon_2 = -n_2\frac{d\phi}{dt}\end{displaymath}$

y como el término $\frac{d\phi}{dt}$ es el mismo en ambas expresiones si dividimos miembro a miembro tenemos que

$\begin{displaymath}\epsilon_2 = \frac{n_2}{n_1}\epsilon_1\end{displaymath}$

que nos da la relación entre las tensiones de entrada y salida de un transformador.

Ahora bien, este no es un dispositivo ``milagroso'' y aunque logra transformar un tenue voltaje en otro más alto debe respetar el principio de conservación de la energía, y por tanto las potencias de entrada y salida deberían ser, si no hay pérdidas^17.1 iguales. Como la potencia es $P=I\epsilon$ esto nos dice que las intensidades se transforman como $I_2=\frac{n_1}{n_2}I_1$ .

$\begin{figure}\begin{center} \mbox{ \psfig{file=figuras/transformador.ps}} \end{center}\end{figure}$

Figura 17.3: Esquema simplificado de un transformador.

Resumiendo: Si elevamos la tensión de un circuito lo hacemos a costa de disminuir su intensidad. Cuando bajamos la tensión de otro a cambio elevamos la intensidad. La potencia, que es el término energético, se mantiene constante.

Autoinducción de un solenoide

Si tomamos la aproximación de solenoide muy largo que vimos en el apartado podemos intentar calcular el valor de su coeficiente de autoinducción. Como el campo en su interior vale $B=\mu_0nI$ siendo , recordemos, la densidad longitudinal de espiras, tendremos que si cada espira presenta una superficie el flujo total será $\phi_T=nlBS$ donde es la longitud del solenoide. Despejando