Estudio de un muelle.

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Material experimental . Introducción teórica. Realización práctica.

Agregado: 22 de JULIO de 2003 (Por Michel Mosse) | Palabras: 458 | Votar | Sin Votos | Sin comentarios | Agregar Comentario
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Estudio de un muelle.

Material experimental

Para llevar a cabo esta práctica se necesitará:

Muelle con soporte.
Peso. (Para colgar al muelle) y balanza.
Cronómetro.
Metro.

Introducción teórica

Cuando colocamos un peso en un muelle éste se estira hasta una posición de equilibrio, en la cual se compensan la fuerza que realiza el muelle hacia arriba, gracias a la ley de Hooke

$\begin{displaymath}F = -k\Delta x \end{displaymath}$

con la fuerza que la gravedad ejerce hacia abajo. De esta manera tenemos que

$\begin{displaymath}-k \Delta x = -m g \end{displaymath}$

de donde despejando se obtiene la siguiente expresión

$\begin{displaymath} g = \frac{k \Delta x}{m} \end{displaymath}$

(28.1)

teniendo en cuenta que será la masa normal del peso situado en el muelle, $\Delta x$ se corresponde con la longitud que se ha elongado el muelle hasta alcanzar el equilibrio y es la constante del muelle, que vamos a ver ahora como se calcula.

Una vez que el muelle se encuentra en equilibrio podemos llamar a esta posición . Cualquier pequeña desviación del peso respecto de esta posición donde el muelle está equilibrado y no hay movimiento va a producir una oscilación. Para estudiar esta oscilación basta con saber que, nuevamente, se estará ejerciendo una fuerza neta proporcional al desplazamiento respecto de la posición de equilibrio^28.1 (con peso). Entonces aplicando conjuntamente la ley de Hooke y la segunda ley de Newton

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} F & = & m a & = & m \frac{d^2x}{dt^2} \\ F & = & -k x & & \end{array}\end{displaymath}$

(28.2)

tendremos que $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ . Entonces resolviendo la ecuación diferencial

$\begin{displaymath}m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0\end{displaymath}$

tendremos la solución del problema.

Se puede demostrar^28.2 que una solución de esta ecuación es

$\begin{displaymath} x = A \cos(\omega t) \end{displaymath}$

(28.3)

donde $\omega$ es la velocidad angular que presenta la oscilación y es igual a

$\begin{displaymath} \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \end{displaymath}$

(28.4)

de donde tenemos que

$\begin{displaymath} K=m\omega^2. \end{displaymath}$

(28.5)

Realización práctica.

Para llevar a cabo esta práctica comenzamos midiendo el período de la oscilación. Para ello tiramos del peso hacia abajo y, al soltar el peso, encendemos el cronómetro. Después contamos hasta unas veinte veces que vuelva a pasar por abajo del todo y paramos el cronómetro. Dividiendo el tiempo que ha transcurrido entre el número de oscilaciones tendremos cual es el período de la oscilación, es decir, cuanto tarda en dar una vuelta completa, en repetirse el movimiento. La relación entre este período y $\omega$ es

$\begin{displaymath} \omega = \frac{2\pi}{T} \end{displaymath}$

(28.6)

Usando ahora las ecuaciones (28.6) y (28.5) logramos conseguir la constante del muelle.

$\begin{figure}\begin{center} \mbox{ \psfig{file=figuras/elongacion.ps,width=5cm}} \end{center}\end{figure}$

Figura: Medida de la elongación del muelle al poner el peso.

La segunda parte de la práctica consiste en soltar el peso y lograr que el muelle recobre el equilibrio. Se mide esta posición respecto, por ejemplo, la parte alta del muelle. Después se vuelve a colocar el peso y se mide, una vez se encuentre en equilibrio (quieto) donde está ahora el extremo inferior del muelle. Restando obtendremos la elongación que ha sufrido, es decir, $\Delta x$ , como se puede ver en la figura 28.1. Bastará usar ahora la fórmula (28.1) y ya tendremos cuanto vale, aproximadamente, la aceleración de la gravedad .