FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO. LEY DE GAUSS

Con ayuda de las líneas de fuerza vamos a desarrollar el concepto de flujo del campo eléctrico y establecer un teorema de gran utilidad conocido como teorema de Gauss, que permitirá obtener la expresión del campo magnético en distribuciones de carga con un alto grado de simetría. En el apartado anterior establecimos que la densidad de líneas de fuerza era proporcional a la intensidad del campo eléctrico en esa zona. Podemos definir una magnitud relacionada con la densidad de líneas de fuerza y establecer su valor cuantitativamente. Si consideramos una determinada superficie S perpendicular al campo E, definimos el flujo del campo eléctrico como el producto del módulo del campo por el área de la superficie:

[1.20]

Como el campo es proporcional al número de líneas de fuerza por unidad de área, el flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.

A fin de poder generalizar y poder considerar superficies que no sean perpendiculares en todos los puntos al campo, la definición más correcta del flujo es la siguiente:

[1.21]

siendo n un vector unitario perpendicular a la superficie en cada punto. De este modo solamente se considera en cada punto de la superficie la componente del campo eléctrico que es perpendicular a la misma.

Finalmente, y para tener en cuenta tanto la posible curvatura de la superficie como los distintos valores que puede tomar el módulo del campo eléctrico en los distintos puntos de la superficie, la definición correcta del flujo del campo eléctrico vendrá dada como una suma integral de los distintos elementos diferenciales que componen la superficie:

[1.22]

A menudo nos interesará conocer el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada, con lo cual la suma se extenderá a toda una superficie cerrada, y el vector n unitario debe ser normal y exterior a la superficie

[1.23]

de esta manera se cuenta la cantidad de líneas de fuerza que salen de la superficie cerrada S menos la cantidad de líneas de fuerza que entran en ella.

Por ejemplo, si consideramos una carga puntual q y una superfie esférica de radio a centrada en ella, el flujo del campo eléctrico a través de esta superficie valdrá, teniendo en cuenta [1.23]:

[1.24]

En [1.24] se ha tenido en cuenta que tanto el campo eléctrico como el vector unitario normal a la superficie son paralelos, ambos en la dirección radial y dirigidos hacia fuera. Además el módulo del campo eléctrico puede salir fuera de la integral, dado que depende exclusivamente de la distancia a la carga, y en toda la superficie esférica la distancia es constante e igual al radio. Por lo tanto en este caso el flujo del campo eléctrico es el producto del módulo del campo por el área de la superficie esférica de radio a. La última igualdad la hemos podido expresar porque el flujo a través de una superficie cerrada era igual al número neto de líneas de fuerza que salía de la misma, y porque el número de líneas de fuerza que abandona una carga es proporcional al valor de la carga. Pero además, con el ejemplo de la carga puntual podemos conocer la constante de proporcionalidad. De acuerdo con [1.9], que nos daba la expresión del campo debido a una carga puntual, si la particularizamos para la superficie esférica de radio a obtenemos

[1.25]

Este resultado que se ha obtenido para una carga puntual es válido para cualquier distribución de cargas. Se puede enunciar diciendo que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga que encierra dicha superficie dividido por e ₀. Esta afirmación se denomina Ley de Gauss, y se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

[1.26]

Conviene hacer hincapié en el hecho de que únicamente contribuye en el cálculo del flujo a través de una superficie cerrada la carga que se encuentra en el interior de la misma. Es sencillo comprobar que si consideramos una carga que se encuentre en el exterior de una superficie cerrada, todas las líneas de fuerza que entran en la superficie vuelven a salir, con lo cual el resultado neto es cero.

El teorema de Gauss se puede deducir por consideraciones matemáticas que tienen en cuenta el concepto de ángulo sólido y que no se llevará a cabo aquí. Por otra parte, se puede también dar una expresión puntual de la ley de Gauss utilizando propiedades vectoriales que tampoco se detallarán. Sin embargo sí se cita la expresión resultante ya que es una de las cuatro ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. Es la siguiente:

[1.27]