DINÁMICA II

• Introducción.
• Trabajo.
• Potencia.
• Unidades de trabajo y potencia.
• Energía cinética.
• Unidades de energía.
• Trabajo de una fuerza constante.
• Energía potencial.
• Relación entre fuerza y energía potencial.
• Conservación de la energía de una partícula.
• Estudio de las curvas de energía potencial.
• Fuerzas no conservativas y disipación de energía

 Introducción

La energía es el concepto más fundamental de toda la ciencia. Sin embargo el concepto de energía era totalmente desconocido para Newton.
    La energía es quizás el concepto científico más popular; sin embargo, es uno de las más difíciles de definir. Hay energía en las personas, los lugares, las cosas, pero únicamente observamos sus efectos cuando algo está sucediendo. Sólo podemos observar la energía cuando se transfiere de un lugar a otro o cuando se transforma de una forma en otra. Comenzamos nuestro estudio de la energía con el estudio de un concepto asociado: el trabajo.

 Trabajo
Si tenemos una partícula (Fig. 1) que se mueve a una distancia S = AB bajo la acción de una fuerza constante F, definimos el trabajo realizado mediante la expresión

Trabajo = fuerza x distancia

[1]]

Es decir, el trabajo que hace una fuerza constante está dado por el producto de la magnitud de la fuerza y el desplazamiento de la partícula. Si la fuerza actúa formando un ángulo con la dirección del desplazamiento (Fig. .2), entonces el trabajo realizado se calcula utilizando la componente de la fuerza,  que está en dirección del desplazamiento; es decir,

Así:

El trabajo realizado por una fuerza es igual al producto del desplazamiento de la partícula por la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento.

Como 

          [2]

Mediante el concepto de producto escalar, e introduciendo el vector de desplazamiento,  podemos escribir el trabajo como el producto escalar

              [3]

Notemos que si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, de modo que si, el trabajo realizado por la fuerza es cero. Éste es, por ejemplo, el caso de la fuerza centrípeta F. en el movimiento circular y del peso W de un cuerpo cuando éste se mueve en una superficie horizontal Si es negativo y, también el trabajo. Éste es el caso de las fuerzas de fricción y viscosas, que siempre actúan en dirección opuesta a la del movimiento. En el caso de un cuerpo que cae, el peso hace un trabajo positivo, pero si el cuerpo se mueve hacia arriba, el trabajo del peso es negativo.

La ecuación [3] para el trabajo es válida cuando la fuerza es constante y el cuerpo se mueve en línea recta. Consideremos ahora un caso más general: supongamos una partícula A que se mueve a lo largo de una curva C bajo la acción de una fuerza variable F (Fig. 3). En un tiempo muy corto, dt, la partícula se mueve de A a B. El desplazamiento, que también es muy pequeño, se puede escribir como 

Mediante la ecuación [3], el trabajo realizado por la fuerza durante ese desplazamiento es el producto escalar:

    [4]

Si representamos el módulo de  (es decir, la distancia recorrida a lo largo de la curva) como ds,

podemos también escribir la ecuación [4]] de la forma

     [5]

La ecuación [4] da el valor del trabajo para un desplazamiento infinitesimal. El trabajo total realizado sobre la partícula cuando ésta se mueve de A a B (Fig. 3) es la suma de los trabajos realizados en los pequeños desplazamientos sucesivos a lo largo de la trayectoria. Esto es,

Cuando los desplazamientos son muy pequeños, la suma puede reemplazarse por una integral. Por tanto,

       [6]

Con el fin de efectuar la integral que aparece en la ecuación [7] debemos conocer  como función de . También, en general, debemos conocer la ecuación de la trayectoria a lo largo de la cual se mueve la partícula. Alternativamente, debemos conocer  y  como función del tiempo o de alguna otra variable. La integral de la ecuación [7] se conoce como integral de línea porque se calcula a lo largo de cierta trayectoria.

 Potencia

En muchas aplicaciones prácticas es importante conocer la rapidez con la que se hace trabajo. La potencia se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo. Así, si es el trabajo realizado en un intervalo pequeño de tiempo dt, la potencia será

         [8]

Mediante la ecuación [4], ,  y recordando que , podemos escribir también

               [9]

Por tanto, la potencia se puede definir también como el producto escalar de la fuerza y la velocidad. La ecuación [8] da la potencia instantánea. La potencia media durante un intervalo de tiempo  se obtiene al dividir el trabajo total W, dado por la ecuación [7], entre el intervalo de tiempo 

Desde el punto de vista de la ingeniería, el concepto de potencia es muy importante. Cuando un ingeniero diseña una máquina, lo que importa generalmente es la rapidez con que ésta hace trabajo, más que la cantidad total de trabajo que pueda hacer, aunque esto también es relevante.

Unidades de trabajo y potencia

En las ecuaciones [1] y [4] vemos que el trabajo debe expresarse como el producto de una unidad de fuerza por una de distancia. En el SI, el trabajo se expresa como newton metro, unidad conocida como joule, abreviada J. Así pues, un joule es el trabajo realizado por una fuerza de un newton que mueve a una partícula una distancia de un metro en la misma dirección que la fuerza. Como N = kg m s-2, tenemos que

J = N m = kg m² s^-2

De acuerdo con la ecuación [8], la potencia debe expresarse como el cociente entre una unidad de trabajo y una de tiempo. En el SI, la potencia se expresa en joules por segundo, unidad conocida como watt y abreviada W. Un watt es la potencia de una máquina que hace trabajo a razón de un joule cada segundo. Recordando que J = kg m² s^-2, tenemos que

W = J s^-1= kg m² s^-3

Los ingenieros aún utilizan la unidad de potencia conocida como caballo de fuerza, que es igual a 745.7 W.

Otra unidad utilizada para expresar el trabajo es el kilovatio hora (kWh), que es igual al trabajo realizado durante una hora por una máquina que tiene una potencia de un kilovatio. Así,

1 kilovatio hora = (10³ W) (3.6 x 10³ s) 3.6 x 10⁶ J

partícula de masa m. Sin embargo, es de aplicación práctica general. Por ejemplo, si conocemos la velocidad inicial y, por tanto, la energía cinética inicial de un cuerpo, podemos calcular fácilmente

Energía cinética

Consideremos un cuerpo que se mueve a lo largo de la curva C bajo la acción de una fuerza  ( representa la resultante de todas las fuerzas que actuan sobre el cuerpo) La fuerza tangencial en P es

por tanto, el trabajo realizado por en un desplazamiento es

    [12]

El trabajo total que se hace al mover el cuerpo de A a B es entonces,

       [13]

Este resultado indica que el trabajo total realizado sobre la partícula es igual a la diferencia de la cantidad  evaluada al final y al principio de la trayectoria. La cantidad se conoce como energía cinética de la partícula y la representaremos por =.. Por tanto la ecuación [13] la podemos expresar como

[14]

Esta ecuación indica que

El trabajo total realizado sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética.

El enunciado anterior constituye el teorema del trabajo y la energía cinética.

La relación  no implica ninguna nueva ley de la naturaleza, sino simplemente es una consecuencia de la definición de trabajo y de la segunda ley de Newton.

La energía cinética de una partícula es una cantidad que se puede calcular en cualquier punto durante el movimiento, si se conoce la velocidad. El trabajo, en cambio, es una cantidad asociada con una fuerza y un desplazamiento y, en general, depende de la trayectoria seguida. Así, un aspecto interesante de la ecuación [14] es que relaciona una característica de la partícula (energía cinética)con una cantidad que depende de su trayectoria (el trabajo realizado).

También tenemos que si la fuerza resultante sobre la partícula es cero, su velocidad es constante y, en consecuencia, su energía cinética permanece constante. El trabajo total que se efectúa también es cero, aun cuando cada una de las fuerzas aplicadas al cuerpo hace algo de trabajo. Por ejemplo, si un automóvil se mueve con velocidad constante, su energía cinética no cambia y el trabajo neto que se realiza sobre el auto es cero. El motor ejerce una fuerza hacia adelante y hace un trabajo positivo, pero a la fuerza del motor se le oponen las fuerzas de fricción y la resistencia del aire, que se oponen al movimiento y efectúan trabajo negativo. Así, el trabajo neto es cero. Sin embargo, el conductor debe pagar la gasolina que se necesita para hacer la parte positiva del trabajo. Desgraciadamente, el conductor no recibe nada por el trabajo negativo que realizan las fuerzas de fricción; por eso, para reducir el costo de operación de un automóvil, uno debe tratar de minimizar las fuerzas de fricción y viscosas.

Unidades de energía

Considerando la ecuación [14], podemos ver que la energía cinética se mide en las mismas unidades que el trabajo, es decir, en joules en el SI. Se puede observar con en la expresión de la = en el SI debe expresarse en kg m ² s^-2, que es la expresión dimensional para el joule en términos de las unidades fundamentales.

Otra unidad de energía utilizada ampliamente por los físicos para describir procesos químicos atómicos y nucleares es el electronvoltio abreviado eV, cuya definición daremos en Física II. 1 eV = 1.60218 x10^-19 J

Un múltiplo útil del electronvoltio es el megaelectronvoltio, MeV:

1 MeV = 10 ⁶ eV = 1.60218 x l0 ^-13 J

 Trabajo de una fuerza constante

Consideremos una partícula m que se mueve bajo la acción de una fuerza  constante en magnitud y dirección (Fig. 4). Es posible que actúen sobre la partícula otras fuerzas, constantes o no, pero no las tendremos en cuenta en este momento. El trabajo de F cuando la partícula se mueve de A a B es

    [16]

Una conclusión importante de la ecuación [16] es que el trabajo, en este caso, es independiente de la trayectoria que une a los puntos A y B. El trabajo depende sólo del desplazamiento resultante  y de la componente de la fuerza en dirección de este desplazamiento. Por ejemplo, si en lugar de moverse a lo largo de la trayectoria (1), la partícula se mueve a lo largo de la (2), que también une A y B, el trabajo de será el mismo porque el desplazamiento es el mismo. La ecuación [16] se puede escribir también de la forma

     [17]

y, por tanto, W es igual a la menos diferencia entre  evaluada al final y al principio de la trayectoria.

Una importante aplicación de la ecuación [16] es el trabajo que hace la fuerza de gravedad

(Fig. 4-b). Escogiendo el eje Y que apunta verticalmente hacia arriba, la fuerza es . También tenemos que . Por tanto, . Sustituyendo este valor en la ecuación [17] tenemos

    [18]

En la ecuación [18] no existe referencia a la trayectoria, y el trabajo depende solamente de la menos diferencia de la cantidad evaluada en los puntos final e inicial.

Energía potencial

La situación estudiada en el apartado anterior es sólo un ejemplo de una clase importante de fuerzas, conocidas como fuerzas conservativas. Una fuerza es conservativa si su dependencia del vector de posición r de la partícula es tal que el trabajo W realizado por la fuerza se puede expresar como la diferencia entre una magnitud E p (r) evaluada en los puntos inicial y final (Fig.5), sin importar la trayectoria seguida por la partícula. La cantidad E.(r) se conoce como energía potencial de la partícula asociada a la fuerza conservativa aplicada, Y sólo es función de la posición de la partícula. Entonces, si F es una fuerza conservativa,

       [19]

Cuando se conoce la expresión para la energía potencial, el trabajo de una fuerza conservativa se puede calcular sin hacer referencia alguna a la trayectoria seguida. Esto es,

  [20]

Se debe advertir que, sin importar cuál sea la fuerza F, la energía cinética siempre está definida Como y la ecuación [15], , siempre es válida. Por otro lado, en la ecuación [20] la forma de la energía potencial depende de la naturaleza de la fuerza .

En general el trabajo depende de la trayectoria seguida y no se cumple la ecuación [20] , sólo para las fuerzas conocidas como conservativas. el trabajo no depende de la trayectoria y se puede expresar mediante la relación 

Por ejemplo, comparando la ecuación [19] con la [17] vemos que la energía potencial correspondiente a una fuerza constante es

De manera parecida, en la ecuación [18] notamos que la fuerza de gravedad es una fuerza conservativa y que la energía potencial debida a la gravedad, cuando tomamos el eje Y en la dirección vertical hacia arriba, está definida como

[22]

La energía potencial está definida siempre salvo una constante aditiva arbitraria, porque, por ejemplo, si escribimos mgy + C en lugar de mgy, la ecuación [20] aún es la misma, ya que la constante C, que aparece en los dos términos, se cancela.

Es importante resaltar que el trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria que une a los puntos A y B; la diferencia  es siempre la misma porque sólo depende de las coordenadas de A y B. En particular, si la trayectoria es cerrada, de manera que el punto final coincide con el inicial (es decir, A y B son el mismo punto), entonces y el trabajo es cero (W = 0). Esto significa que durante una parte de la trayectoria el trabajo de la fuerza conservativa es positivo y durante la otra es negativo exactamente en la misma cantidad, lo cual da un resultado neto de cero. Cuando la trayectoria es cerrada se acostumbra escribir la integral que aparece en la ecuación [19] como . (El círculo sobre la integral indica que la trayectoria es cerrada, y a la integral de línea se le conoce como circulación..) Por tanto, para fuerzas conservativas,

[23]

El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es cero.

Relación entre fuerza y energía potencial

Para satisfacer la ecuación [20], es necesario que para cada pequeño desplazamiento el trabajo realizado esté relacionado con el cambio de energía potencial mediante

   [24]

Como donde . es la componente de F en la dirección del desplazamiento y  es la magnitud del desplazamiento , podemos escribir, en lugar de la ecuación [24]

[25]

Por tanto, si conocemos podemos obtener la componente de la fuerza  en cualquier dirección mediante el cálculo de la cantidad -  donde ds corresponde a un desplazamiento en esa dirección. Así, las componentes de  a lo largo de los ejes de coordenadas X, Y, Z están relacionadas con la energía potencial mediante

[26]

La cantidad  es igual al cambio de energía potencial por unidad de desplazamiento y se conoce como razón de cambio espacial de . en la dirección asociada con ds. Por esta razón también se conoce como derivada direccional de Si un vector es tal que su componente en cualquier dirección es igual a la derivada de una función en esa dirección, se llama gradiente de la función. Por tanto, una fuerza conservativa es igual al menos gradiente de la energía potencial. .

 Conservación de la energía de una partícula

Cuando la fuerza que actúa sobre una partícula es conservativa, podemos combinar la ecuación [20] , con el teorema del trabajo y la energía cinética: 

que indica que los cambios de la energía cinética y potencial, son iguales y opuestos. Esta expresión también se puede escribir como

[27]

La magnitud  se conoce como energía mecánica de la partícula y se denota con .

La ecuación [27] nos indica que el cambio de la energía mecánica es cero. Por tanto,

cuando la fuerza es conservativa, la energía mecánica  de la partícula permanece constante.

Ésta es la razón por la cual decimos que cuando hay una energía potencial, las fuerzas son conservativas. Durante el movimiento bajo este tipo de fuerzas, la energía cinética y la potencial pueden variar, pero siempre de forma tal que su suma permanece constante. Por tanto, si aumenta la energía cinética, la energía potencial debe disminuir en la misma cantidad, y viceversa. Decimos también que durante el movimiento existe un intercambio continuo de energía cinética en potencial, y viceversa.

 Estudio de las curvas de energía potencial

Las gráficas que representan a la energía potencial  en función de r son de gran utilidad para entender el movimiento de una partícula, aun sin resolver la ecuación de movimiento. Por simplicidad consideraremos primero el caso del movimiento rectilíneo o en una dimensión, de modo que la energía potencial sólo depende de una variable, x; esto es, . En la figura se representa una curva de energía potencial posible para el movimiento en una dimensión. La fuerza sobre la partícula, para cualquier valor de x, está dada por:

Ahora , es la pendiente de la curva La pendiente es positiva cuando la curva sea creciente, y negativa si es decreciente.. Por tanto, la fuerza  es negativa o está dirigida hacia la izquierda, siempre que la energía potencial aumente, y es positiva, o está dirigida hacia la derecha , siempre que la energía potencial esté disminuyendo.

En los puntos en que la energía potencial es mínima o máxima, como M₁, M_{2 ,} M₃ tenemos Por tanto, en estos puntos F = 0 y son posiciones de equilibrio. Las posiciones en las que es mínimo son de equilibrio estable porque, cuando se desplaza la partícula ligeramente de su posición de equilibrio, sobre ella actúa una fuerza que tiende a llevarla a esa posición. Donde es máxima, el equilibrio es inestable, ya que un pequeño desplazamiento de la posición de equilibrio hace que la partícula experimente una fuerza que tiende a alejarla de tal posición.

Consideremos ahora una partícula con energía total E, como se indica en la línea horizontal (1) de la figura 6. En cualquier posición x, la energía potencial . corresponde a la ordenada de la curva, y la energía cinética, está dada por la distancia de la curva a la línea E. Ahora la línea E corta a la curva  en los puntos A y B. A la izquierda de A y a la derecha de B, la energía E es menor que la energía potencial y, por tanto, en esa región la energía cinética debería ser negativa. Pero eso es imposible porque  necesariamente es positiva. Por tanto, el movimiento de la partícula está limitado al intervalo AB, y la partícula oscila entre A y B. En estos puntos, conocidos como puntos de retroceso, la velocidad es cero y la partícula invierte su movimiento.

Si la partícula tiene una energía mayor, como la correspondiente a la línea (2), tiene dos posibles regiones de movimiento, conocidas como pozos de potencial. En una región, la partícula oscila entre C y D; en la otra, oscila entre F y G. Si la partícula está en una región nunca podrá saltar a la otra, debido a que necesitaría pasar por la región DF donde la energía cinética sería negativa y por tanto la zona DF está prohibida. Decimos que las dos regiones o pozos de potencial donde se permite el movimiento están separadas por una barrera de potencial.

En el nivel de energía (3), el movimiento es oscilatorio entre H e I. Finalmente, en el nivel de energía (4) el movimiento ya no es oscilatorio y la partícula se mueve entre K y el infinito. Por ejemplo, si la partícula se mueve inicialmente hacia la izquierda, cuando alcanza el punto K "rebota" y retrocede hacia la derecha sin regresar jamás.

Fuerzas no conservativas y disipación de energía

A primera vista hallamos fuerzas no conservativas en la naturaleza. Un ejemplo es el rozamiento. El rozamiento dinámico, siempre se opone al desplazamiento. Su trabajo depende de la trayectoria seguida y, aunque ésta puede ser cerrada, el trabajo no es cero. De manera parecida, el rozamiento viscoso de un fluido se opone a la velocidad y depende de ésta pero no de la posición. Un cuerpo, por tanto, puede estar sujeto a fuerzas conservativas y no conservativas al mismo tiempo.

Por ejemplo, un cuerpo que cae en un fluido está sujeto a la fuerza gravitatoria conservativa y a la fuerza de rozamiento viscoso del fluido, que no es conservativa.

Supongamos pues, una partícula bajo la acción de fuerzas conservativas y no conservativas .Sea ; la energía potencial correspondiente a las fuerzas conservativas. Si tenemos en cuenta el teorema del trabajo y la energía cinética:

El trabajo total lo podemos descomponer en dos sumandos,  ; esto es, el trabajo de las fuerzas conservativas más el trabajo de las no conservativas., podemos por tanto escribir

, pero ; luego  obteniendo

En este caso, la cantidad  no permanece constante sino que disminuye si  es negativo o aumenta si es positivo.