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DINÁMICA II
Introducción
La energía es el concepto más
fundamental de toda la ciencia. Sin embargo el concepto de energía era
totalmente desconocido para Newton.
La energía es quizás el concepto científico más popular; sin
embargo, es uno de las más difíciles de definir. Hay energía en las personas,
los lugares, las cosas, pero únicamente observamos sus efectos cuando algo está
sucediendo. Sólo podemos observar la energía cuando se transfiere de un lugar a
otro o cuando se transforma de una forma en otra. Comenzamos nuestro estudio de
la energía con el estudio de un concepto asociado: el trabajo.
Trabajo
Si
tenemos una partícula (Fig. 1) que se mueve a una distancia S = AB bajo
la acción de una fuerza constante F, definimos el trabajo realizado
mediante la expresión
Trabajo = fuerza x distancia
[1]]
Es decir, el trabajo que hace
una fuerza constante está dado por el producto de la magnitud de la fuerza y el
desplazamiento de la partícula. Si la fuerza actúa formando un ángulo con la
dirección del desplazamiento (Fig. .2), entonces el trabajo realizado se
calcula utilizando la componente de la fuerza, que está en dirección del
desplazamiento; es decir,
Así:
El trabajo realizado por una fuerza es igual al producto del desplazamiento de la partícula por la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento.
Como
[2]
Mediante el concepto de producto escalar, e introduciendo
el vector de desplazamiento, podemos
escribir el trabajo como el producto escalar
[3]
Notemos que si la fuerza es perpendicular al
desplazamiento, de modo que si, el
trabajo realizado por la fuerza es cero. Éste es, por ejemplo, el caso de la
fuerza centrípeta F. en el movimiento circular y del peso W de un
cuerpo cuando éste se mueve en una superficie horizontal Si
es negativo y, también el
trabajo. Éste es el caso de las fuerzas de fricción y viscosas, que siempre
actúan en dirección opuesta a la del movimiento. En el caso de un cuerpo que
cae, el peso hace un trabajo positivo, pero si el cuerpo se mueve hacia arriba,
el trabajo del peso es negativo.
La
ecuación [3] para el trabajo es válida cuando la fuerza es constante y el
cuerpo se mueve en línea recta. Consideremos ahora un caso más general:
supongamos una partícula A que se mueve a lo largo de una curva C bajo la
acción de una fuerza variable F (Fig. 3). En un tiempo muy corto, dt, la
partícula se mueve de A a B. El desplazamiento, que también es muy
pequeño, se puede escribir como
Mediante la ecuación [3], el trabajo realizado por la
fuerza durante
ese desplazamiento es el producto escalar:
[4]
Si representamos el módulo de (es
decir, la distancia recorrida a lo largo de la curva) como ds,
podemos también escribir la ecuación [4]] de la forma
[5]
La ecuación [4] da el valor del trabajo para un desplazamiento infinitesimal. El trabajo total realizado sobre la partícula cuando ésta se mueve de A a B (Fig. 3) es la suma de los trabajos realizados en los pequeños desplazamientos sucesivos a lo largo de la trayectoria. Esto es,
Cuando los desplazamientos son
muy pequeños, la suma puede reemplazarse por una integral. Por tanto,
[6]
Con el fin de efectuar la integral que aparece en la
ecuación [7] debemos conocer como
función de
.
También, en general, debemos conocer la ecuación de la trayectoria a lo largo
de la cual se mueve la partícula. Alternativamente, debemos conocer
y
como
función del tiempo o de alguna otra variable. La integral de la ecuación [7] se
conoce como integral de línea porque se calcula a lo largo de cierta
trayectoria.
Potencia
En muchas aplicaciones prácticas es importante conocer la
rapidez con la que se hace trabajo. La potencia se define como el
trabajo realizado por unidad de tiempo. Así, si es el
trabajo realizado en un intervalo pequeño de tiempo dt, la potencia será
[8]
Mediante la ecuación [4], , y
recordando que
,
podemos escribir también
[9]
Por tanto, la potencia se puede
definir también como el producto escalar de la fuerza y la velocidad. La
ecuación [8] da la potencia instantánea. La potencia media durante
un intervalo de tiempo se obtiene al dividir el
trabajo total W, dado por la ecuación [7], entre el intervalo de tiempo
Desde el punto de vista de la
ingeniería, el concepto de potencia es muy importante. Cuando un ingeniero
diseña una máquina, lo que importa generalmente es la rapidez con que
ésta hace trabajo, más que la cantidad total de trabajo que pueda hacer, aunque
esto también es relevante.
Unidades de trabajo y potencia
En las ecuaciones [1] y [4] vemos que el trabajo debe expresarse como el producto de una unidad de fuerza por una de distancia. En el SI, el trabajo se expresa como newton metro, unidad conocida como joule, abreviada J. Así pues, un joule es el trabajo realizado por una fuerza de un newton que mueve a una partícula una distancia de un metro en la misma dirección que la fuerza. Como N = kg m s-2, tenemos que
J = N m = kg m2 s-2
De acuerdo con la ecuación [8], la potencia debe expresarse como el cociente entre una unidad de trabajo y una de tiempo. En el SI, la potencia se expresa en joules por segundo, unidad conocida como watt y abreviada W. Un watt es la potencia de una máquina que hace trabajo a razón de un joule cada segundo. Recordando que J = kg m2 s-2, tenemos que
W = J s-1= kg m2 s-3
Los ingenieros aún utilizan la unidad de potencia conocida como caballo de fuerza, que es igual a 745.7 W.
Otra unidad utilizada para expresar el trabajo es el kilovatio hora (kWh), que es igual al trabajo realizado durante una hora por una máquina que tiene una potencia de un kilovatio. Así,
1 kilovatio hora = (103 W) (3.6 x 103 s) 3.6 x 106 J
partícula de masa m. Sin embargo, es de aplicación
práctica general. Por ejemplo, si conocemos la velocidad inicial y, por tanto,
la energía cinética inicial de un cuerpo, podemos calcular fácilmente
Energía cinética
Consideremos un cuerpo que se mueve a lo largo de la curva
C bajo la acción de una fuerza (
representa la resultante de todas las fuerzas que actuan sobre el cuerpo) La
fuerza tangencial en P es
por tanto, el trabajo realizado por en un
desplazamiento
es
[12]
El trabajo total que se hace al mover el cuerpo de A a B es entonces,
[13]
Este resultado indica que el
trabajo total realizado sobre la partícula es igual a la diferencia de la
cantidad evaluada al final y al
principio de la trayectoria. La cantidad
se
conoce como energía cinética de la partícula y la representaremos
por
=
..
Por tanto la ecuación [13] la podemos expresar como
[14]
Esta ecuación indica que
El trabajo total realizado sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética.
El enunciado anterior constituye el teorema del trabajo y la energía cinética.
La relación
no implica ninguna nueva ley de la naturaleza, sino simplemente es una
consecuencia de la definición de trabajo y de la segunda ley de Newton.
La energía cinética de una partícula es una cantidad que se puede calcular en cualquier punto durante el movimiento, si se conoce la velocidad. El trabajo, en cambio, es una cantidad asociada con una fuerza y un desplazamiento y, en general, depende de la trayectoria seguida. Así, un aspecto interesante de la ecuación [14] es que relaciona una característica de la partícula (energía cinética)con una cantidad que depende de su trayectoria (el trabajo realizado).
También tenemos que si la fuerza resultante sobre la
partícula es cero, su velocidad es constante y, en consecuencia, su energía
cinética permanece constante. El trabajo total que se efectúa también es cero,
aun cuando cada una de las fuerzas aplicadas al cuerpo hace algo de trabajo.
Por ejemplo, si un automóvil se mueve con velocidad constante, su energía
cinética no cambia y el trabajo neto que se realiza sobre el auto es cero. El
motor ejerce una fuerza hacia adelante y hace un trabajo positivo, pero a la
fuerza del motor se le oponen las fuerzas de fricción y la resistencia del
aire, que se oponen al movimiento y efectúan trabajo negativo. Así, el trabajo
neto es cero. Sin embargo, el conductor debe pagar la gasolina que se necesita
para hacer la parte positiva del trabajo. Desgraciadamente, el conductor no
recibe nada por el trabajo negativo que realizan las fuerzas de fricción; por
eso, para reducir el costo de operación de un automóvil, uno debe tratar de
minimizar las fuerzas de fricción y viscosas.
Unidades de energía
Considerando la ecuación [14], podemos ver que la energía
cinética se mide en las mismas unidades que el trabajo, es decir, en joules en
el SI. Se puede observar con en la expresión de la =
en el
SI debe expresarse en kg m 2 s-2, que es la expresión
dimensional para el joule en términos de las unidades fundamentales.
Otra unidad de energía utilizada ampliamente por los físicos para describir procesos químicos atómicos y nucleares es el electronvoltio abreviado eV, cuya definición daremos en Física II. 1 eV = 1.60218 x10-19 J
Un múltiplo útil del electronvoltio es el megaelectronvoltio, MeV:
1 MeV = 10 6 eV = 1.60218 x l0 -13 J
Trabajo de una fuerza constante
Consideremos una partícula m que se mueve
bajo la acción de una fuerza
constante en magnitud y dirección (Fig. 4). Es posible que actúen sobre la
partícula otras fuerzas, constantes o no, pero no las tendremos en cuenta en
este momento. El trabajo de F cuando la partícula se mueve de A a B es
[16]
Una conclusión importante de la
ecuación [16] es que el trabajo, en este caso, es independiente de la
trayectoria que une a los puntos A y B. El trabajo depende sólo del
desplazamiento resultante y de la componente de la
fuerza en dirección de este desplazamiento. Por ejemplo, si en lugar de moverse
a lo largo de la trayectoria (1), la partícula se mueve a lo largo de la (2),
que también une A y B, el trabajo de
será el
mismo porque el desplazamiento
es el
mismo. La ecuación [16] se puede escribir también de la forma
[17]
y, por tanto, W es igual a la
menos diferencia entre
evaluada al final y al principio de la trayectoria.
Una importante aplicación de la ecuación [16] es el trabajo que hace la fuerza de gravedad
(Fig. 4-b). Escogiendo el eje Y que apunta verticalmente
hacia arriba, la fuerza es .
También tenemos que
.
Por tanto,
.
Sustituyendo este valor en la ecuación [17] tenemos
[18]
En la ecuación [18] no existe
referencia a la trayectoria, y el trabajo depende solamente de la menos
diferencia de la cantidad evaluada
en los puntos final e inicial.
Energía potencial
La
situación estudiada en el apartado anterior es sólo un ejemplo de una clase
importante de fuerzas, conocidas como fuerzas conservativas. Una fuerza es
conservativa si su dependencia del vector de posición r de la partícula
es tal que el trabajo W realizado por la fuerza se puede expresar como la
diferencia entre una magnitud E p (r) evaluada en los puntos inicial
y final (Fig.5), sin importar la trayectoria seguida por la partícula. La
cantidad E.(r) se conoce como energía potencial de la partícula asociada a la
fuerza conservativa aplicada, Y sólo es función de la posición de la partícula.
Entonces, si F es una fuerza conservativa,
[19]
Cuando se conoce la expresión para la energía potencial, el trabajo de una fuerza conservativa se puede calcular sin hacer referencia alguna a la trayectoria seguida. Esto es,
[20]
Se debe advertir que, sin
importar cuál sea la fuerza F, la energía cinética siempre está definida
Como y
la ecuación [15],
,
siempre es válida. Por otro lado, en la ecuación [20] la forma de la energía
potencial
depende
de la naturaleza de la fuerza
.
En general el trabajo depende de la trayectoria seguida y
no se cumple la ecuación [20] , sólo para las fuerzas conocidas como conservativas.
el trabajo no depende de la trayectoria y se puede expresar mediante la
relación
Por ejemplo, comparando la ecuación [19] con la [17] vemos que la energía potencial correspondiente a una fuerza constante es
De manera parecida, en la ecuación [18] notamos que la fuerza de gravedad es una fuerza conservativa y que la energía potencial debida a la gravedad, cuando tomamos el eje Y en la dirección vertical hacia arriba, está definida como
[22]
La energía potencial está definida siempre salvo una constante aditiva arbitraria, porque, por ejemplo, si escribimos mgy + C en lugar de mgy, la ecuación [20] aún es la misma, ya que la constante C, que aparece en los dos términos, se cancela.
Es
importante resaltar que el trabajo realizado por una fuerza conservativa es
independiente de la trayectoria que une a los puntos A y B; la
diferencia
es siempre la misma porque sólo depende de las coordenadas de A y B. En
particular, si la trayectoria es cerrada, de manera que el punto final
coincide con el inicial (es decir, A y B son el mismo punto), entonces
y
el trabajo es cero (W = 0). Esto significa que durante una parte de la
trayectoria el trabajo de la fuerza conservativa es positivo y durante la otra
es negativo exactamente en la misma cantidad, lo cual da un resultado neto de
cero. Cuando la trayectoria es cerrada se acostumbra escribir la integral que
aparece en la ecuación [19] como
.
(El círculo sobre la integral indica que la trayectoria es cerrada, y a la
integral de línea se le conoce como circulación..) Por tanto, para fuerzas
conservativas,
[23]
El trabajo de una fuerza
conservativa a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es cero.
Relación entre fuerza y energía potencial
Para satisfacer la ecuación [20], es
necesario que para cada pequeño desplazamiento el trabajo realizado esté
relacionado con el cambio de energía potencial mediante
[24]
Como donde
.
es la componente de F en la dirección del desplazamiento
y
es la magnitud del desplazamiento
,
podemos escribir, en lugar de la ecuación [24]
[25]
Por tanto, si conocemos podemos
obtener la componente de la fuerza
en cualquier dirección mediante el cálculo de la cantidad -
donde ds corresponde a un desplazamiento en esa dirección. Así, las
componentes de
a lo largo de los ejes de coordenadas X, Y, Z están relacionadas
con la energía potencial mediante
[26]
La cantidad
es igual al cambio de energía potencial por unidad de desplazamiento y se
conoce como razón de cambio espacial de
.
en la dirección asociada con ds. Por esta razón también se
conoce como derivada direccional de
Si
un vector es tal que su componente en cualquier dirección es igual a la
derivada de una función en esa dirección, se llama gradiente de la
función. Por tanto, una fuerza conservativa
es
igual al menos gradiente de la energía potencial.
.
Conservación de la energía de una partícula
Cuando la fuerza que actúa sobre una partícula es
conservativa, podemos combinar la ecuación [20] ,
con el teorema del trabajo y la energía cinética:
que indica que los cambios de la energía cinética y potencial, son iguales y opuestos. Esta expresión también se puede escribir como
[27]
La magnitud
se conoce como energía mecánica de la partícula y se denota con
.
La ecuación [27] nos indica que el cambio de la energía mecánica es cero. Por tanto,
cuando la fuerza es conservativa, la energía
mecánica
de la partícula permanece constante.
Ésta es la razón por la cual
decimos que cuando hay una energía potencial, las fuerzas son conservativas.
Durante el movimiento bajo este tipo de fuerzas, la energía cinética y la
potencial pueden variar, pero siempre de forma tal que su suma permanece
constante. Por tanto, si aumenta la energía cinética, la energía potencial debe
disminuir en la misma cantidad, y viceversa. Decimos también que durante el
movimiento existe un intercambio continuo de energía cinética en potencial, y
viceversa.
Estudio de las curvas de energía potencial
Las
gráficas que representan a la energía potencial en función de r
son de gran utilidad para entender el movimiento de una partícula, aun
sin resolver la ecuación de movimiento. Por simplicidad consideraremos primero
el caso del movimiento rectilíneo o en una dimensión, de modo que la energía
potencial sólo depende de una variable, x; esto es,
.
En la figura se representa una curva de energía potencial posible para el
movimiento en una dimensión. La fuerza sobre la partícula, para cualquier valor
de x, está dada por:
Ahora ,
es la pendiente de la curva
La
pendiente es positiva cuando la curva sea creciente, y negativa si es
decreciente.. Por tanto, la fuerza
es negativa o está dirigida hacia la izquierda, siempre que la energía
potencial aumente, y es positiva, o está dirigida hacia la derecha , siempre
que la energía potencial esté disminuyendo.
En los puntos en que la energía potencial es mínima o
máxima, como M1, M2 , M3 tenemos Por
tanto, en estos puntos F = 0 y son posiciones de equilibrio. Las
posiciones en las que
es
mínimo son de equilibrio estable porque, cuando se desplaza la partícula
ligeramente de su posición de equilibrio, sobre ella actúa una fuerza que
tiende a llevarla a esa posición. Donde
es
máxima, el equilibrio es inestable, ya que un pequeño desplazamiento de la
posición de equilibrio hace que la partícula experimente una fuerza que tiende
a alejarla de tal posición.
Consideremos ahora una partícula con energía total E, como
se indica en la línea horizontal (1) de la figura 6. En cualquier posición x,
la energía potencial .
corresponde a la ordenada de la curva, y la energía cinética
,
está dada por la distancia de la curva
a
la línea E. Ahora la línea E corta a la curva
en los puntos A y B. A la izquierda de A y a la derecha de B, la
energía E es menor que la energía potencial
y,
por tanto, en esa región la energía cinética debería ser negativa. Pero eso es
imposible porque
necesariamente es positiva. Por tanto, el movimiento de la partícula está
limitado al intervalo AB, y la partícula oscila entre A y B. En estos
puntos, conocidos como puntos de retroceso, la velocidad es cero y la
partícula invierte su movimiento.
Si la partícula tiene una energía mayor, como la correspondiente a la línea (2), tiene dos posibles regiones de movimiento, conocidas como pozos de potencial. En una región, la partícula oscila entre C y D; en la otra, oscila entre F y G. Si la partícula está en una región nunca podrá saltar a la otra, debido a que necesitaría pasar por la región DF donde la energía cinética sería negativa y por tanto la zona DF está prohibida. Decimos que las dos regiones o pozos de potencial donde se permite el movimiento están separadas por una barrera de potencial.
En el nivel de energía (3), el movimiento es oscilatorio entre H e I. Finalmente, en el nivel de energía (4) el movimiento ya no es oscilatorio y la partícula se mueve entre K y el infinito. Por ejemplo, si la partícula se mueve inicialmente hacia la izquierda, cuando alcanza el punto K "rebota" y retrocede hacia la derecha sin regresar jamás.
Fuerzas no conservativas y disipación de energía
A primera vista hallamos fuerzas no conservativas en la naturaleza. Un ejemplo es el rozamiento. El rozamiento dinámico, siempre se opone al desplazamiento. Su trabajo depende de la trayectoria seguida y, aunque ésta puede ser cerrada, el trabajo no es cero. De manera parecida, el rozamiento viscoso de un fluido se opone a la velocidad y depende de ésta pero no de la posición. Un cuerpo, por tanto, puede estar sujeto a fuerzas conservativas y no conservativas al mismo tiempo.
Por ejemplo, un cuerpo que cae en un fluido está sujeto a la fuerza gravitatoria conservativa y a la fuerza de rozamiento viscoso del fluido, que no es conservativa.
Supongamos pues, una partícula bajo la acción de fuerzas
conservativas y no conservativas .Sea ; la
energía potencial correspondiente a las fuerzas conservativas. Si tenemos en
cuenta el teorema del trabajo y la energía cinética:
El trabajo total lo podemos descomponer en dos
sumandos,
; esto es, el trabajo de las fuerzas conservativas más el trabajo de las no
conservativas., podemos por tanto escribir
,
pero
;
luego
obteniendo
En este caso, la cantidad
no permanece constante sino que disminuye si
es negativo o aumenta si es positivo.
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