OSCILADOR FORZADO

• Ecuación diferencial del oscilador forzado.
• Soluciones de la ecuación diferencial del oscilador forzado.
• Amplitud y fase de la velocidad.
• Resonancia en la energía.
• Reactancia y resistencia de un oscilador.
• Potencia transmitida por la fuerza al oscilador.
• Ancho de banda. Factor de calidad.

Ecuación diferencial del oscilador forzado

    Las pérdidas en la energía de un oscilador amortiguado se compensan mediante una fuerza externa periódica.

    Consideremos un oscilador amortiguado por una fuerza proporcional a la velocidad y, además sujeto a una fuerza periódica .
    La ecuación diferencial que gobierna el oscilador es:

aplicando la segunda ley de Newton y expresando la aceleración y velocidad como las derivadas segunda y primera respectivamente.
 

o en la forma más habitual:

Soluciones de la ecuación diferencial

    Resolver la ecuación diferencial anterior se sale de los objetivos del presente curso.

    Podemos justificar sin embargo que desde el punto de vista físico parece lógico que al cabo de un tiempo suficientemente grande el movimiento resultante sea oscilatorio con una frecuencia igual a la de la fuerza aplicada. Y así sucede, la solución tiene dos términos: uno amortiguado (solución de la ecuación homogénea- igualada a cero-), que se anula con el tiempo y otro al que se denomina solución particular y cuya frecuencia coincide con la de la fuerza aplicada.

    Tomemos pues como solución particular la siguiente expresión:

La solución pasará por un estado transitorio hasta que para un tiempo suficientemente grande la solución será x=x_p (estado estacionario)

si t se hace muy grande,   la solución x tiende a 

    Sustituyendo la solución en la ecuación diferencial podemos obtener después de algunas operaciones para la amplitud y la fase las siguientes expresiones:

La amplitud y la fase expresadas pueden expresarse también en la siguiente forma:

Se observa:

• Solución oscilatoria armónica con el mismo periodo de la fuerza

• La amplitud y la fase dependen de:
 

_{Proximidad entre wf  y  wo}

_{Valor de la fuerza aplicada F0}

_{Características del oscilador amortiguado K y l}
 

• La amplitud presenta un máximo cuando:

     [2]

que obtenemos al hacer mínimo el denominador de la ecuación.

Cuando se verifica la ecuación [2] se produce resonancia en amplitud.

Cuando el amortiguamiento es pequeño g cercano a cero La resonancia se da cuando la frecuencia de la fuerza coincide con la frecuencia natural  w₀ y, en este caso, la amplitud tiende a infinito.

 Amplitud y fase de la velocidad.

Se acaba de ver que para un oscilador forzado por una fuerza:

La posición viene dada por la expresión:

Y la velocidad

tiene un retraso de fase a respecto a la fuerza.

La amplitud de la velocidad viene dada por:

Esta amplitud es máxima cuando el denominador sea mínimo, y esto sucede cuando

Es decir cuando la frecuencia de la fuerza coincide con la del oscilador no amortiguado.

Resonancia en la energía.

     Cuando la amplitud de la velocidad es máxima y con ello la energía cinética del oscilador. Por ello se dice que hay resonancia en la energía

En este la diferencia de fase entre la velocidad y la fuerza aplicada es:

Es decir la fuerza está en fase con la velocidad.

Gráfica de la amplitud de la velocidad frente a la frecuencia

Impedancia de un oscilador

La amplitud de la velocidad viene dada por:

El denominador de dicha expresión recibe el nombre de impedancia Z. La impedancia es el cociente entre las amplitudes de la fuerza aplicada y de la velocidad.

Reactancia y resistencia de un oscilador . (Diagrama de impedancia)

Resistencia R= l

Reactancia X= m w_f -k/w _f

Como puede observarse el ángulo a del diagrama es el mismo que el de desfase entre la fuerza y la velocidad.

Cuando hay resonancia en la energía , la reactancia es cero  y la impedancia es igual a la resistencia.

Potencia transmitida por la fuerza al oscilador.

La potencia instantánea viene dada por la expresión:

(la fuerza y la velocidad llevan la misma dirección)

En la resonancia la fuerza y la velocidad están en fase y, como veremos más adelante la potencia transmitida por la fuerza al oscilador es máxima.

Potencia media transmitida.

La potencia media en un periodo se define como:

En nuestro caso

teniendo en cuenta que

queda para la potencia media en un periodo

En la resonancia a =0 , (v_o es máxima) la potencia media transmitida al oscilador es máxima:

Ancho de banda. Factor de calidad.

La potencia transmitida al oscilador varía con la frecuencia de la fuerza aplicada. En la resonancia, la potencia transmitida es máxima.

Se puede comprobar fácilmente que la relación que hay entre la potencia media y la potencia media en la resonancia es:

Una representación gráfica de esta es de la siguiente forma.

Cuanto más aguda sea esa curva más definida será la resonancia.

La agudeza de esa curva nos la da el ancho de banda   (diferencia de frecuencias  para las cuales la potencia media es la mitad de la potencia en la resonancia ), que está relacionado con el factor de calidad Q ,

Cuanto mayor sea el factor de calidad, más aguda será la curva de resonancia.