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ANTIDERIVADA
Definición :
Se llama antiderivada de una función f definida en un conjunto D de números reales a otra función g
derivable en D tal que se cumpla que:
Teorema :
Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales,
entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.
Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de
f es en ese conjunto D se puede escribir como , c
constante real.
Integral indefinida:
antiderivada
de f ó integral indefinida de f.
f(x) : Integrando ; c : constante de integración.
,
: cte real
Técnica para resolver antiderivada basada en la regla de derivación de funciones compuestas.
Propiedades de las antiderivadas: se basa en las propiedades de las derivadas ya que cualquier propiedad de las
derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivadas.
Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D de números reales y
sean :antiderivadas
Si
es un número real, entonces se cumple :
1)
2)
Integración de funciones racionales
Son
integrales de la forma: , donde
y
son funciones
polinomiales.
Método de descomposición en fracciones simples
Es un método algebraico aplicable solo a funciones racionales y consiste en descomponer una fracción en suma de fracciones simples, o sea, fracciones que tengan denominadores mas sencillos que el dado.
El procedimiento para la descomposición de fracciones simples, es el siguiente :
1) Si el grado
efectuamos la
división, obteniendo un cociente y el resto:
Por
definición de división: divido en
;
2) Vamos a
descomponer siendo
Factoreamos el denominador. ( por teorema del álgebra : Todo polinomio con coeficientes reales puede descomponerse en factores lineales o en factores cuadratico irreducibles).
* son números reales algunos
iguales o todos distintos
Si hay factores iguales, hay factores lineales repetidos.
* son números reales
algunos iguales o todos distintos.
Diferentes casos:
Caso 1) Todos los factores que aparecen en el
denominador son lineales y
distintos.
Caso 2) El denominador de es un producto de
factores todos lineales y algunos están repetidos.
Caso 3) En aparecen factores cuadráticos irreducibles que no se repiten.
Caso 4) En aparecen factores
cuadráticos irreducibles repetidos.
Método de integración por partes
Se basa en la regla de derivación del producto de dos funciones derivables en un dominio común.
Sean dos funciones
derivables en un dominio común. Entonces :
Formula del método de integración por partes
Procedimiento :
1) Identificar la
integral dada con la formula del método parar ello descomponemos el integrando
en dos factores y
de tal modo que el
contenga al
.
2) Aplicar bien el
método surge de una buena elección de y
.
3) Elijo el tal que
y sea fácil de
calcularlo.
4) Al aplicar la
formula nos reemplaza el problema de resolver la en el problema de
resolver la
Condiciones para aplicar el método:
1) En el
integrando aparece el producto de dos funciones. tal que
sea derivable, y a partir de
sea posible
obtener
.
2) La integral que
resulta al usar la formula del método ( ) debe ser
de igual complejidad o menor complejidad que la dada.
Método de integración por sustitución
Este método se basa en la regla de derivación de funciones compuestas.
Definición :
Sea
la integral que queremos resolver y sea la sustitución
donde
es una función
derivable con derivada no nula
y sea
biunivoca o sea
que también es
derivable,
si entonces :
Condiciones para aplicar el método:
* Exista una función con
biunivoca y derivable
con derivada no nula.
* La nueva integral en t que resulta al aplicar el método , debe ser inmediata
o de menor
complejidad .
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