1. Encuentre el volumen de la región limitada por y = x², el eje x y la recta x = 5

alrededor del el eje y

V = π _a ∫ ^b { F(x)² - G(x)² } D_x

V = π ₀ ∫ ⁵⁰ [(25 - √ y/2)² ] Dy

V = π ₀ ∫ ⁵⁰ [(25 - y/2 ] Dy

V = π [25y - y²/4 ]⁵⁰ Dy

V = 625 π u³

2. Encuentre el volumen de la región limitada por f(x) = x² + 1, alrededor de la recta x = 3

h = X_i² + 1

∆X_i = D_x

r_m = 3 - x

a) V = 2 π _a ∫ ^b (x) (f(x)) D_x

V = 2 π ₀ ∫ ² (3 - x) (x² + 1) D_x

V = 2 π _a ∫ ^b (-x³ + 3x² -x + 3) D_x

V = 2 π [(-x⁴/4 + x³ -x²/2 + 3x)]²

V = 16 π u³

3. Calcular el volumen del sólido generado al girar, en torno de la recta x = 2, la región

Limitada por las gráficas de y = x³ + x + 1,  y = 1 y x = 1

V = 2 π _a ∫ ^b p(x)h(x)D_x

V = 2 π ₀ ∫ ¹  (2 - x ) (x³ + x +1 -1 )D_x

V = 2 π ₀ ∫ ¹  (-x⁴ + 2x³ -x² + 2x ) D_x

V = 2 π [-x⁵/5 + x⁴/2 -x³/3 +x² ]¹₀

V = 2 π  (-1/5 + ½ -1/3 +1 )

V = 29 π /15 u³

4. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las gráficas de

y = x² +1 , y = 0 , x = 0 , y  x = 1 en torno al eje y

Método de capas

V = 2 π _a ∫ ^b p(x)h(x)D_x

V = 2 π ₀∫ ¹ x(x² +1)D_x

V = 2 π [x⁴/4 + x²/2]¹

V = 3 π /2 u³

5. Calcular el volumen de un sólido de revolución engendrado por la región limitada

y = 1/ (x² + 1)² y el eje x ( x menor e igual a 1 y x mayor e igual a 0 )

V = 2 π _a ∫ ^b p(x)h(x)D_x

V = 2 π ₀∫¹ x /(x² + 1)² D_x

V = [-π /x² + 1 ]¹₀

V = π /2 u³

6. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región limitada por

Y = x - x³ y el eje x ( x menor e igual q 1 y x mayor e igual q 0)

V = 2 π _a ∫ ^b p(x)h(x) D_x

V = 2 π ₀ ∫ ¹ x(x - x³) D_x

V = 2 π ₀ ∫ ¹ (-x⁴ +x²) D_x

V = 2 π [-x⁵/5 + x³/3]

V = 4 π /15 u³

7. Encontrar el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar sobre el eje x la

región encerrada en el primer cuadrante por la elipse 4x² + 9y ²=36 y los ejes coordenados.

Y = ⅔ Ö(9-x²)

V= 4π/9 0∫³ [(9-x²)] Dx

V= 4π/9 [9x - ⅓x³]³

V = 8 π u³

8. Encontrar el volumen del sólido generado al girar sobre el eje y la región limitada por la

curva y = x³, el eje y y la recta y = 3

V = π 0∫³ [y ^2/3] Dy

V = [3/5 y ^5/3]³

V = 3.74 u³

9. Encontrar el volumen generado al girar sobre el eje x la región encerrada por las

parábolas y = x ² , y ² = 8x

V = π 0∫² [(8x - x⁴)] dx

V = π [4x² - 1/5 x⁵]²

V = 48π / 5 u³

10. Encontrar el volumen generado por las gráficas x = y² , x = y + 6 haciendo rotar el eje y.

V = π _a ∫ ^b { F(x)² - G(x)² } D_x

V = π _-2  ∫³ [(y + 6) ² - (y²) ² ] Dy

V = π _-2  ∫³ (y² + 12y + 36 - y⁴ ) Dy

V = π [ ⅓y³+ 6y² + 36y - 1/5 y⁵] _-2 ³

V = 500 π / 3  u³

11. Encontrar el volumen generado por la gráfica y = x³ - x , el eje x al rotar y = 0

V = π _-1 ∫ ¹[(x³ - x )² ] Dy

V = 2π ₀ ∫ ¹[x⁶ - 2x⁴ + x² ] Dy

V = 2π [1/7 x⁷ - 2/5 x⁵ + 1/3 x³]

V = 16π /105 u³

12. Calcular el volumen del sólido generado al girar, alrededor de la recta x = 1, la región

Limitada por la curva (x - 1)² = 20 - 4y y las rectas x = 1, y = 1, y = 3

V = π ₁∫³ [(√ 20 - 4y + 1) - 1]² Dx

V = π ₁∫³ [ 20 - 4y ] Dx

V = π [ 20y - 2y² ]³₁

V = 24π u³

13. Hallar el volumen al girar el área limitada por la parábola y² = 8x y la

ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje y

V = _-4 ∫ ⁴ 4 π D_y - _-4 ∫ ⁴ Px² D_y

V = 2π ₀ ∫ ⁴ (4 - x²) D_y

V = 2π ₀ ∫ ⁴ (4 - y⁴/64) D_y

V = 2π  [4y - y⁵/320]⁴₀

V = 128π /5 u³

14. Hallar el volumen generado el la rotación del área comprendida entre la parábola

y = 4x - x² y el eje x con respecto a la recta y = 6

V = π ₀ ∫ ⁴ [6² - (6 - y)² ] D_x

V = π ₀ ∫ ⁴ (12y - y²) D_x

V = π ₀ ∫ ⁴ (48x - 28x² +8x³ -x⁴) D_x

V = π  [24x² - 28x³/3 + 2x⁴ -x⁵/5]⁴₀

V = 1408π /15 u³

15. Hallar el volumen generado el la rotación del área comprendida entre la parábola

y² = 8x y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto a esa recta (método de anillo)

V = 8 (2) ^½ π ₀ ∫ ² (2 - x ) (x)^1/2 D_x   

V = 8 (2) ^½ π ₀ ∫ ² (2x^1/2 - x^3/2) D_x

V = 256π /15 u³

16. Encontrar el Volumen engendrado al girar sobre el eje y, la región del primer cuadrante

Situada por encima de la parábola y = x² y por debajo de la parábola y = 2 - x²

V = 4π ₀∫¹ (x - x³) Dx

V = 4π ₀[ ½ x² - ¼ x⁴]¹

V = π u³

17. Encontrar el volumen de un sólido de revolución engendrado al girar sobre el eje y la región limitada por la curva y = (x - 1)³, el eje x, y la recta x = 2

V = 2π ₁∫² x(x - 1)³Dx

V = 2π ₁∫² (x⁴ - 3x³ + 3x² -x)Dx

V = 2π [x⁵/5 - 3x⁴/4 + x³ - x²/2]²₁

V = 9π/10

18. Encontrar el volumen del sólido generado por las gráficas y = 4 - x² , 4y = 4 - x² al

hacer rotar el eje x.

V = π _-2∫²  [(4 - x²) ² - (1 - ¼ x² ) ² ]Dx

V = 2π ₀∫² (16 - 8x² + x⁴ - 1 + ½ x² + 1/16x⁴)Dx

V = 2π [15x - 5/2 x² - 3/16 x⁴]²

V = 32π u³

18. Encontrar el volumen del sólido generado por las gráficas y = x² , y² = 8x al

hacer rotar el eje x.

V = π _-2∫²  [(4 - x²) ² - (1 - ¼ x² ) ² ]Dx

V = 2π ₀∫² (16 - 8x² + x⁴ - 1 + ½ x² + 1/16x⁴)Dx

V = 2π [15x - 5/2 x² - 3/16 x⁴]²

V = 32π u³

20.. Encontrar el volumen generado en la rotación del área del primer cuadrante limitada

Por la parábola y² = 8x y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje x

V = π _a ∫ ^b y² D_x

V = π ₀ ∫ ² 8x D_x

V = 4π [x²]²₀

V = 16 π u³