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Física del estado sólido

Trabajo: Cálculo de la constante de Madelung de una red lineal(unidimensional) y una bidimensional cuadrada por el método de Ejven.

 Un cristal iónico, como su propio nombre indica, está formado por iones; estos iones interaccionan entre sí por medio de interacción electrostática principalmente, pudiéndose expresar esta por medio de la ley de Coulomb.

La energía de interacción coulombiana entre dos iones i y j es:

a)

Por lo que la energía electrostática de toda la red es:

b)

Debido a la regularidad del cristal esta suma se puede poner de la manera siguiente:

c)

Donde d es la separación entre iones próximos y es la constante de Madelung. Esta constante depende solo de la distribución espacial de los iones en la red.

Nosotros vamos a calcular el valor de esta constante para una red unidimensional lineal, bidimensional cuadrada y tridimensional cúbica. Para ello vamos a considerar celdas de carga neutra, donde la carga de los iones de la frontera será una fracción de la carga total del ion dependiendo de las celdas contiguas en las que esté repartido(método de Ejven).

RED LINEAL

Aproximación a primeros vecinos

q/2 -q q/2

aproximación a segundos vecinos

-q/2 q -q q -q/2

aproximación a terceros vecinos

q/2 -q q -q q -q q/2

aproximación a cuartos vecinos

-q/2 q -q q -q q -q q -q/2

aproximación a cuartos vecinos

q/2 -q q -q q -q q -q q -q q/2

De donde obtenemos la constante de Madelung

O lo que es lo mismo:

Para calcular la suma la comparamos con el desarrollo en serie de ln(1+x):

Tenemos que si x=1 entonces :

Con lo que la constante de Madelung para la red unidimensional es:

RED BIDIMENSIONAL CUADRADA

Aproximación a primeros vecinos

-q/4 q/2 -q/4

q/2 -q q/2

-q/4 q/2 -q/4

Con lo que:

Aproximación a segundos vecinos:

-q/4 q/2 -q/2 q/2 -q/4

q/2 -q q -q q/2

-q/2 q -q q -q/2

q/2 -q q -q q/2

-q/4 q/2 -q/2 q/2 -q/4

Aproximación a terceros vecinos

-q/4 q/2 -q/2 q/2 -q/2 q/2 -q/4

q/2 -q q -q q -q q/2

-q/2 q -q q -q q -q/2

q/2 -q q -q q -q q/2

-q/2 q -q q -q q -q/2

q/2 -q q -q q -q q/2

-q/4 q/2 -q/2 q/2 -q/2 q/2 -q/4

 

Por lo que la constante de Madelung en tercera aproximación es:

Aproximación para cuartos vecinos

-q/4 q/2 -q/2 q/2 -q/2 q/2 -q/2 q/2 q/4

q/2 -q q -q q -q q -q q/2

-q/2 q -q q -q q -q q -q/2

q/2 -q q -q q -q q -q q/2

-q/2 q -q q -q q -q q -q/2

q/2 -q q -q q -q q -q q/2

-q/2 q -q q -q q -q q -q/2

q/2 -q q -q q -q q -q q/2

-q/4 q/2 -q/ 2 q/2 -q/2 q/2 -q/2 q/2 -q/4

Por tanto en cuarta aproximación:

Aproximación a quintos vecinos:

Operando de forma análoga se obtiene:

Aproximación a sextos vecinos:

Aproximación a séptimos vecinos:

De forma análoga obtenemos para octavos, novenos y décimos vecinos:

Claramente se observa que los valores de la constante de Madelung convergen a un valor que es . Y que la diferencia entre la aproximación a novenos y decimos vecinos se encuentra en la quinta cifra decimal.

 RED TRIDIMENSIONAL CúBICA

Calcularemos la constante de Madelung para el caso particular de la red cristalina del NaCl.

Aproximación a primeros vecinos:

Aproximación a segundos vecinos:

La red ahora es un cubo formado por 5*5*5 iones; para hacernos una idea de la red dibujamos las caras superior e inferior y los planos interiores paralelos a dichas caras, formados estos por 5*5 iones.

Cara superior e inferior(1):

-q/8 q/4 -q/4 q/4 -q/8

q/4 -q/2 q/2 -q/2 q/4

-q/4 q/2 -q/2 q/2 -q/4

q/4 -q/2 q/2 -q/2 q/4

-q/8 q/4 - q/4 q/4 -q/8

Planos intermedios(2):

q/4 -q/2 q/2 -q/2 q/4

-q/2 q q q - q/2

q/2 -q q -q q/2

-q/2 q -q q -q/2

q/4 -q/2 q/2 -q/2 q/4

Plano central(3):

-q/4 q/2 -q/2 q/2 -q/4

q/2 -q q -q q/2

-q/2 q -q q -q/2

q/2 -q q -q q/2

-q/4 q/2 -q/2 q/2 -q/4

Aproximación a terceros vecinos

Igual que antes consideraremos la red como un conjunto de planos paralelos cada uno de ellos formado por 7*7 iones, separado cada uno de ellos por una distancia ‘a'.

Operando exactamente igual que antes se tiene que el valor de energía es:

*A la suma de los diez primeros sumandos la llamamos B.

De donde se tiene el valor de la constante de Madelung (sacando factor común q/a.

Aproximación a cuartos vecinos:

De donde se tiene que (despejando q/a) la constante de Madelung para una red cristalina de NaCl es: