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Guía de estudio

I)Previo

1)      ¿Qué es un intervalo de R?

2)      ¿Qué es un entorno de un punto de R?

3)      ¿Qué es un entorno reducido de un punto de R?

4)      ¿Qué es una función?

II)Sea f dada por:

F(x) = Dominio de f : R - {2}

Como 2 no pertenece al Dominio de f y por lo tanto f(2) no esta definida, nuestro problema consiste en averiguar cual es el valor al que tienden las ordenadas de la función para valores que se aproximen a 2.

a)      Completar el cuadro siguiente:

x	F (x)	x	F (x)	Observaciones
1,9	.....................	2,1	.....................	X < 2 2 X > 2 X à 2 -- � X à 2 +   Izquierda Derecha
1,99	.....................	2,01	.....................
1,999	.....................	2,001	.....................
1,9999	.....................	2,0001	.....................
1,99999	.....................	2,00001	.....................
.....................	.....................	.....................	.....................

b)      ¿Cuándo nos aproximamos a x = 2 ya sea por la derecha o por la izquierda, las ordenadas de la f (x) a que valor tienden?

c)      ¿De todo lo anterior podemos inferir que f (x) tiende a 4 cuando x tiende a 2?

III)Completar el cuadro siguiente:

x	F (x)	X - 2	F (x) - 4	Observaciones
1,9	.....................
1,99	.....................
1,999	.....................
1,9999	.....................
1,99999	.....................
.....................	.....................
.....................	.....................
2,00001	.....................
2,0001	.....................
2,001	.....................
2,01	.....................
2,1	.....................	.....................	.....................

d)      ¿Qué ocurre con f (x) - 4 y x - 2?

e)      ¿Pueden ser iguales a cero estas diferencias?

f)        ¿Pueden ser esas diferencias igual a 10^-10 ?

g)      ¿Es correcto decir "... tan próxima a cero cómo se nos ocurra?

h)      ¿Esas diferencias sobre qué ejes se interpretan?

i)        ¿Cómo pueden expresarse algebraicamente que las diferencias aludidas en d) pueden hacerse tan próximas a cero como uno quiera y menor que un número positivo cualquiera?

j)        ¿Existe una dependencia entre estos números?

k)      Interprete todo lo anterior en un gráfico.

Limite Finito

1)Representar gráficamente

a)       f:.............-à................ / f (x) = 2 x - 1 (Hacer un gráfico grande y claro, 1 unidad 2 cm)

b)      Trazar sobre el eje Y el entorno E (3 ; 0,5) = (.........;..........) = | Y - ......| < ..........

c)      Hallar grafica y analíticamente los valores de x (preimagenes) de los extremos del entorno. Es decir

F (............) = 2,5

F (............) = 3,5

d)      ¿Qué entorno queda determinado sobre el eje X? Definirlo

E (.............;..............) = (...............;.................) = | X - ......| < ..........

e)      Construir una tabla de valores de x pertenecientes a ese entorno con sus correspondientes imágenes

x	F (x)
1,80
1,85
1,90
1,95
1,97
1,99
...........
2,01
2,03
2,05
2,10
2,15
2,20

f)        ¿A qué valor puede decirse que "tienden" esos X?...............................

g)      ¿A qué valor puede decirse que "tienden" las respectivas imágenes?................

h)      Completar: Conclusión

| X - ........| < .......... => | f(x) - 3 | < .............

Si se toman valores de X que pertenecen al entorno E (........;........) entonces las imágenes van a pertenecer al entorno E (........;........)

i)        ¿ Que conclusión se obtiene si considero sobre el eje Y el entorno E ( 3 ; 0,1)?

| X - 2 | < .......... => | f(x) - 3 | < 0,1

j)        Si continuamos variando el radio del entorno con centro e 3 ( es decir disminuyendo su valor) ¿ qué conclusión general enunciaría con respecto a los X pertenecientes al entorno con centro en 2?

Nota: llámese d a los radios de los entornos sobre el eje X y llámese e a los radios de los entornos sobre el eje Y

X/X � R ^ | X - 2 | < .......... => | f(x) - 3 | < .......... (Para este ejemplo)

Decimos que el Limite de f (x) cuando X tiende a 2 es igual a 3 , y se simboliza

Lim F (x) = 3

X à 2

Como hemos visto , cuando analizamos una función a través del límite, lo hacemos "tendiendo" a un cierto valor, sin utilizarlo, es decir tomamos un entorno reducido en ese punto con radio tan pequeño como nosotros queremos, y a través de las tablas de valores, analizamos a que resultado se acerca la función. En el primer caso logramos obtener que el límite al acercarnos a x = 2 era = a 4, siendo el número 2 un elemento no perteneciente al Dominio.

Mientras que en el segundo ejemplo, al acercarnos a x = 2 , la función se acercaba a 3, y si calculábamos el valor de F(2), también se obtenía el mismo resultado.

Limites notables:

Lim K/x = � Lim x/K = 0 donde K = constante numérica

X à 0 X à 0 x = variable

Lim K/x = � Lim x/K = �

X à � X à �

Lim indeterminado

Como veremos en los siguientes ejemplos, comenzaremos a realizar los cálculos de límites, reemplazando la x por el valor hacia el que "tiende", siempre recordando que estaríamos usando un entorno reducido; si llegamos a un cierto resultado, ya habremos realizado el cálculo. La única situación que merecerá un estudio en detalle es el cálculo que finalice con una indeterminación.

A continuación analizaremos con algunos ejemplos los distintos casos que se nos pueden presentar.

Ejemplo 1)

Lim x� + 2x - 3 = (1)� + 2 . (1) - 3 = 0 (intentamos con el reemplazo directo)

X à 1

Como llegamos a un resultado (el único caso que no se considera resultado es cero sobre cero) �podemos asegurar que la función se acerca a 0 cuando x tiende a 1.

Ejemplo 2)

Lim �

X à 0

En este ejemplo también llegamos a un resultado.

Ejemplo 3)

Lim Aquí estamos en presencia de una indeterminación

X à 1

En estos casos será necesario utilizar algunos casos de factoreo ya vistos, para transformar las sumas y restas en productos de manera que se pueda llegar a realizar alguna simplificación.

En este ejemplo podemos utilizar "diferencia de cuadrados"

Lim

X à 1 X à 1

En este caso estamos utilizando una diferencia de cuadrados, que resultaba ser el producto de una suma por una resta de dos binomios. a� - b� = ( a + b ) . ( a - b )

Podemos realizar la simplificación, ya que al estar trabajando con límites, no estamos utilizando el valor de x=1, sino un entorno reducido del mismo, por lo que no estaríamos simplificando dos paréntesis cuyos resultados sean cero. Por eso es imprescindible seguir colocando siempre la palabra límite.

Lim x + 1 = (1) + 1 = 2 Siendo este el resultado final (Observen que hasta no lograr alguna

X à 1 simplificación no desaparece la indeterminación)

Ejemplo 4)

Lim Aquí estamos en presencia de otra indeterminación

X à 1

En este ejemplo podemos utilizar "trinomio cuadrado perfecto"

Trinomio cuadrado Perfecto a� +/- 2.a.b + b� = (a +/- b)� = (a +/- b).(a +/- b) Recordar que se debe verificar el doble producto del primer elemento por el segundo, correspondientes a las raices cuadrados de los términos mayores.

Lim Lim Lim

X à 1 X à 1 X à 1

Lim (x - 1 ) = 1 - 1 = 0

X à 1

Ejemplo 5)

Lim indeterminado

X à 2

En este caso podemos aplicar el caso más general que es el de Factor común

Lim Lim

X à 2 X à 2

Lim x = 2

X à 2

Ejemplo 6)

Lim indeterminado

X à 1

Acá debemos probar si es posible realizar la división a través del teorema de Ruffini y del resto (para asegurarnos del resultado exacto)

x⁵ + 0x⁴ + 0x³ + 0x² +0x - 1

1

1 0 0 0 0 - 1

| 1 1 1 1 1

1 x⁴ +1x³ +1x² +1x +1 0 Resto

Si encontramos que es posible dividir en forma exacta, podremos indicar al dividendo como el producto del cociente por el divisor utilizado.

Lim Lim

X à 1 X à 1

Lim

X à 1

Ejemplo 7)

Lim indeterminado

X à 2

Este caso es un poco más complicado, ya que al tener raíces el denominador, debemos racionalizar, por lo tanto procederemos a multiplicar numerador y denominador por el binomio opuesto (en este caso suma)

Lim Lim Lim Lim

X à 2 X à 2 X à 2 X à 2

Lim

X à 2

Ejemplo 8)

Lim indeterminado

X à 2

En este caso no es posible dividir, ni tampoco es un trinomio cuadrado perfecto, pero podemos utilizar la ecuación resolvente para llevar la ecuación de segundo grado a la forma factorizada

Recordando que en forma general ax� + bx +c = a. (x - x₁) . (x - x₂)

x� + x - 6 à a = 1 ; b = 1 ; c = - 6

x₁= 2 ; x₂ = - 3 por lo tanto

x� + x - 6 = 1.(x - 2).(x + 3) = (x - 2).(x + 3) entonces

1

Lim

X à 2 X à 2

Lim

X à 2

Ejercitación: Si has leído atentamente y has seguido cada uno de los procedimientos empleados, estarás en condiciones de resolver los siguientes ejercicios (depende exclusivamente de lo visto en la guía, trata de resolverlo sin la ayuda de tu profe). Recuerda en primer lugar intenta resolverlos reemplazando por las tendencias de "x", y solo sigue realizando cálculos en los casos de indeterminación.