Las experiencias anteriores a las de Faraday, al no tener en cuenta los aspectos dinámicos, o de cambio con el tiempo, de esta clase de fenómenos, no pudieron detectar este tipo de corrientes que aparecen en un circuito eléctrico sin que exista dentro del propio circuito ninguna pila que las genere.

1.3. La noción del flujo magnético:

Flujo magnético

La representación de la influencia magnética de un imán o de una corriente eléctrica en el espacio que les rodea mediante líneas de fuerza fue ideada por Faraday y aplicada en la interpretación de la mayor parte de sus experimentos sobre electromagnetismo. Mediante este tipo de imágenes Faraday compensaba su escasa preparación matemática, apoyándose así su enorme habilidad gráfica y su no inferior intuición científica. La noción de flujo magnético recoge esa tradición iniciada por Faraday de representar los campos mediante líneas de fuerza, pero añade, además, un significado matemático.

Cuando se observa, con la ayuda de limaduras de hierro, el campo magnético creado por un imán recto, se aprecia que, en los polos, las líneas de fuerza están más próximas y que se separan al alejarse de ellos. Dado que la intensidad del campo magnético B disminuye con la distancia a los polos, parece razonable relacionar ambos hechos y establecer por convenio una proporcionalidad directa entre la intensidad del campo B y la cantidad de líneas de fuerza que atraviesan una superficie de referencia unidad. Cuanto más apretadas están las líneas en una región, tanto más intenso es el campo en dicha región.

El número de líneas de fuerza del campo B que atraviesa una superficie unidad depende de cómo esté orientada tal superficie con respectó a la dirección de aquéllas. Así, para un conjunto de líneas de fuerza dado, el número de puntos de intersección o de corte con la superficie unidad será máximo para una orientación perpendicular y nulo para una orientación paralela. El número de líneas de fuerza del campo B que atraviesa perpendicularmente una superficie constituye entonces una forma de expresar el valor de la intensidad de dicho campo.

Se define el flujo del campo magnético B a través de una superficie, y se representa por la letra griega f, como el número total de líneas de fuerza que atraviesan tal superficie. En términos matemáticos, para un campo magnético constante y una superficie plana de área S, el flujo magnético se expresa en la forma:

f = B • S • cos (12.1)

siendo el ángulo que forman las líneas de fuerza (el vector B) con la perpendicular a la superficie. Dicha ecuación recoge, mediante el cos , el hecho de que el flujo varíe con la orientación de la superficie respecto del campo B y también que su valor dependa del área S de la superficie atravesada. Para = 0� (intersección perpendicular) el flujo es máximo e igual a B • S; para = 90� (intersección paralela) el flujo es nulo.

La idea de flujo se corresponde entonces con la de cantidad de campo magnético que atraviesa una superficie determinada. En el Sistema Internacional se expresa en wéber (Wb). Un wéber es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en 1 segundo por crecimiento uniforme.

La ley de Faraday-Henry

Independientemente de Faraday, Joseph Henry, en los Estados Unidos, había observado que un campo magnético variable produce en un circuito próximo una corriente eléctrica. Los resultados concordantes de las experiencias de ambos físicos pueden resumirse en un enunciado que se conoce como ley de Faraday-Henry:

La fuerza electromotriz inducida en un circuito es proporcional a la rapidez con la que varía el flujo magnético que lo atraviesa.

O en forma matemática:

siendo e la fuerza electromotriz inducida y Df la variación de flujo magnético que se produce en el intervalo de tiempo Dt. De acuerdo con esta ecuación, la magnitud de f.e.m. inducida coincide con lo que varía el flujo magnético por unidad de tiempo.

La presencia de la fuerza electromotriz e en la ley de Faraday-Henry en lugar de la intensidad de corriente (ambas son proporcionales entre sí), resalta una característica de la inducción, a saber, su capacidad para sustituir a un generador, es decir, para producir los mismos efectos que éste en un circuito eléctrico. Por su parte, el signo negativo recoge el hecho, obser,vado experimentalmente por Faraday y Henry, de que aumentos (Df > 0) y disminuciones (Df < 0) de flujo magnético producen corrientes inducidas de sentidos opuestos.

Si no hay variación con el tiempo del flujo magnético que atraviesa un circuito, el fenómeno de la inducción electromagnética no se presenta. Tal circunstancia explica los fracasos de aquellos físicos contemporáneos de Faraday que pretendieron conseguir corrientes inducidas en situaciones estáticas, o de reposo, del circuito respecto del imán o viceversa.

Cuando la ley de Faraday-Henry se aplica a una bobina formada por N espiras iguales toma la forma

El sentido de las corrientes inducidas

Aunque la ley de Faraday-Henry, a través de su signo negativo, establece una diferencia entre las corrientes inducidas por un aumento del flujo magnético y las que resultan de una disminución de dicha magnitud, no explica este fenómeno. Lenz (1904-1965), un físico alemán que investigó el electromagnetismo en Rusia al mismo tiempo que Faraday y Henry, propuso la siguiente explicación del sentido de circulación de las corrientes inducidas que se conoce como ley de Lenz:

Las corrientes que se inducen en un circuito se producen en un sentido tal que con sus efectos magnéticos tienden a oponerse a la causa que las originó.

Así, cuando el polo norte de un imán se aproxima a una espira, la corriente inducida circulará en un sentido tal que la cara enfrentada al polo norte del imán sea también Norte, con lo que ejercerá una acción magnética repulsiva sobre el imán, la cual es preciso vencer para que se siga manteniendo el fenómeno de la inducción. Inversamente, si el polo norte del imán se aleja de la espira, la corriente inducida ha de ser tal que genere un polo Sur que se oponga a la separación de ambos. Sólo manteniendo el movimiento relativo entre espira e imán persistirán las corrientes inducidas, de modo que si se detiene el proceso de acercamiento o de separación cesarían aquéllas y, por tanto, la fuerza magnética entre el imán y la espira desaparecería.

La ley de Lenz, que explica el sentido de las corrientes inducidas, puede ser a su vez explicada por un principio más general, el principio de la conservación de la energía. La producción de una corriente eléctrica requiere un consumo de energía y la acción de una fuerza desplazando su punto de aplicación supone la realización de un trabajo. En los fenómenos de inducción electromagnética es el trabajo realizado en contra de las fuerzas magnéticas que aparecen entre espira e imán el que suministra la energía necesaria para mantener la corriente inducida. Si no hay desplazamiento, el trabajo es nulo, no se transfiere energía al sistema y las corrientes inducidas no pueden aparecer. Análogamente, si éstas no se opusieran a la acción magnética del imán, no habría trabajo exterior, ni por tanto cesión de energía al sistema.

1.4. Ley de Faraday-Henry:

�

Aplicación de la ley de Faraday-Henry y del concepto de flujo magnético

Una espira circular de 20 cm de diámetro gira en un campo magnético uniforme de 5 T de intensidad a razón de 120 vueltas por minuto. Determinar: a) El flujo magnético que atraviesa la espira cuando su plano es perpendicular al campo y cuando forma un ángulo de 30� con la dirección del campo magnético. b) El valor de la f.e.m. media inducida en la espira cuando pasa de la primera a la segunda posición.

a) La expresión del flujo que atraviesa una espira circular en un campo magnético uniforme viene dada por.

siendo B la intensidad del campo magnético, S el área limitada por la espira, R su radio y el ángulo que forma la perpendicular al plano de la espira con la dirección del campo.

En la primera posición el ángulo ₁ = 0� y por lo tanto:

En la segunda posición el ángulo ₂ = 90� - 30� = 60� y entonces:

b) De acuerdo con la ley de Faraday-Henry, la f.e.m. media inducida en una espira en un intervalo de tiempo Dt viene dada por:

siendo Dt el intervalo de tiempo que transcurre entre una y otra posición.

Dado que el movimiento de rotación es uniforme, se cumple la relación:

que permite el cálculo de Dt.

resulta:

Sustituyendo el valor de Df y de Dt en la ley de Faraday-Henry resulta finalmente:

Producción de una corriente alterna

La corriente alterna se caracteriza porque su sentido cambia alternativamente con el tiempo. Ello es debido a que el generador que la produce invierte periódicamente sus dos polos eléctricos, convirtiendo el positivo en negativo y viceversa, muchas veces por segundo.

La ley de Faraday-Henry establece que se induce una fuerza electromotriz (f.e.m.) e en un circuito eléctrico siempre que varíe el flujo magnético f que lo atraviesa. Pero de acuerdo con la definición de flujo magnético (ecuación 12.1), éste puede variar porque varíe el área S limitada por el conductor, porque varíe la intensidad del campo magnético B o porque varíe la orientación entre ambos dada por el ángulo .

En las primeras experiencias de Faraday las corrientes inducidas se conseguían variando el campo magnético B; no obstante, es posible provocar el fenómeno de la inducción sin desplazar el imán ni modificar la corriente que pasa por la bobina, haciendo girar ésta en torno a un eje dentro del campo magnético debido a un imán. En tal caso el flujo magnético varía porque varía el ángulo . Utilizando el tipo de razonamiento de Faraday, podría decirse que la bobina al rotar corta las líneas de fuerza del campo magnético del imán y ello da lugar a la corriente inducida.

En una bobina de una sola espira la fuerza electromotriz

bobina desde la posición paralela ( = 90�) a la posición perpendicular ( = 0�) puede calcularse a partir de la ley de Faraday-Henry, en la forma:

Como el flujo f inicial es cero (cos 90� = 0) y el final es B • S (cos 0� = 1), la variación Df o diferencia entre ambos es igual al producto B • S. Considerando el instante inicial igual a cero, resulta Dt = t • 0 = t, siendo t el tiempo correspondiente al instante final después de un cuarto de vuelta. De este modo se obtiene el resultado anterior.

Si se hace rotar la espira uniformemente, ese movimiento de rotación periódico da lugar a una variación también periódica del flujo magnético o, en otros términos, la cantidad de líneas de fuerza que es cortada por la espira en cada segundo toma valores iguales a intervalos iguales de tiempo. La f.e.m. inducida en la espira varía entonces periódicamente con la orientación y con el tiempo, pasando de ser positiva a ser negativa, y viceversa, de una forma alternativa. Se ha generado una f.e.m. alterna cuya representación gráfica, en función del tiempo, tiene la forma de una línea sinusoidal.

La síntesis de Maxwell

El experimento de Oersted (1820) había demostrado la existencia de efectos magnéticos debidos a cargas en movimiento. Los descubrimientos de Faraday (1831) habían puesto de manifiesto que campos magnéticos variables con el tiempo dan lugar a un movimiento de cargas eléctricas en los conductores. Además, la explicación de Faraday de estos fenómenos llamados de inducción había introducido por primera vez en la historia de la física la noción de campo magnético representado por un conjunto de líneas de fuerza. Medio siglo antes, Charles Coulomb (1785) había descrito en forma de ley el modo en que las cargas eléctricas se atraen entre sí. Estos cuatro elementos fundamentales sirvieron de base a Maxwell para iniciar la síntesis de los fenómenos eléctricos y de los fenómenos magnéticos entonces conocidos y su explicación dentro de una amplia teoría conocida como teoría del electromagnetismo.

Apoyado en una enorme habilidad matemática, Maxwell empezó dando forma de ecuaciones a las observaciones de Faraday y a su noción de campo magnético. Las fuerzas entre cargas en reposo se beneficiarían pronto de una representación semejante en forma de campos eléctricos o electrostáticos. Este proceso de elaboración teórica le permitió finalmente describir lo esencial de los fenómenos electromagnéticos en cuatro ecuaciones, que se denominan ecuaciones de Maxwell. La primera describe cómo es el campo eléctrico debido a cargas en reposo; la segunda traduce en forma matemática la imposibilidad de separar los polos magnéticos de un imán; la tercera expresa en términos de campos magnéticos y corrientes eléctricas el descubrimiento de Oersted y la cuarta recoge la aportación de Faraday. La virtud de tales ecuaciones es que en ellas aparecen a primera vista los campos eléctricos E y magnético B y su forma simple y rica a la vez permite relacionarlas entre sí para obtener nuevos resultados y predecir nuevas consecuencias.

Además de resumir en un solo cuerpo de conocimientos la electricidad y el magnetismo, la teoría de Maxwell abrió nuevos caminos al conocimiento de la naturaleza y a sus aplicaciones. Las ondas electromagnéticas, que son la base de las actuales telecomunicaciones, como la radio o la televisión, constituyeron la predicción más interesante de esta síntesis de Maxwell.

Las ondas electromagnéticas

De las ecuaciones de Maxwell se deduce que el campo magnético y el campo eléctrico pueden estar interactuando permanentemente si uno de ellos varía con el tiempo. Así, el movimiento acelerado de un sistema de cargas produce un campo magnético variable, el cual a su vez genera campos eléctricos. Pero si éstos se producen tuvieron que partir de cero; tal variación del campo eléctrico produce a su vez un campo magnético y así repetidamente. Esta sucesión oscilante de campos eléctricos y magnéticos viajando por el espacio se denomina onda electromagnética.

A partir de sus ecuaciones, Maxwell anticipó que las ondas electromagnéticas deberían propagarse en el vacío a una velocidad igual a la velocidad de la luz. Las predicciones de Maxwell fueron confirmadas experimentalmente por Hertz, quien generó y detectó este tipo de ondas, observando que su comportamiento era idéntico al de las ondas luminosas de la óptica.

Desde las ondas de radio hasta los rayos gamma, pasando por las ondas luminosas, una amplia gama de ondas electromagnéticas constituyen el llamado espectro electromagnético hoy conocido. Todas ellas tienen la misma naturaleza y sólo se diferencian en su frecuencia, es decir, en el número de oscilaciones que se producen en cada segundo en estos campos viajeros. La energía de las ondas electromagnéticas es tanto mayor cuanto mayor es su frecuencia. La luz con sus colores constituye simplemente la porción limitada del espectro electromagnético, al cual el ojo humano es sensible.

1.5. El experimento de Hertz:

El montaje experimental que permitió a Heinrich Hertz en 1888 producir y detectar ondas electromagnéticas constaba de un circuito eléctrico, capaz de producir tensiones eléctricas oscilantes, y de un detector. Dicho circuito, formado, en esencia, por un transformador y unas placas metálicas a modo de condensadores, se conectaba a dos esferas metálicas pulimentadas separadas entre sí por una pequeña región de aire. Cuando la tensión entre las dos esferas alcanzaba su valor máximo, el aire intermedio se electrizaba y saltaba una chispa. Este proceso se repetía periódicamente generando, cada vez, según la predicción de Maxwell, un conjunto de ondas electromagnéticas.

Para comprobar que, en efecto, un campo electromagnético viajero se estaba propagando por el espacio, Hertz preparó un detector (o antena), conocido también como resonador, que consistía en un alambre corto doblado en forma de circunferencia, pero con una pequeña abertura intermedia. Las ondas electromagnéticas, si existían, serían detectadas porque la variación del campo magnético de la onda al atravesar el resonador daría lugar a una fuerza electromotriz inducida que provocaría una chispa entre sus extremos.

Con el fin de analizar el fenómeno más cómodamente, situó en su laboratorio una superficie reflectora que le permitiría confinar las ondas producidas en el espacio comprendido entre el circuito emisor y la placa. Así, y con la ayuda del resonador, fue capaz de descubrir las características de las ondas generadas mediante su aparato emisor y de medir una longitud de onda de 66 cm. Las previsiones teóricas de Maxwell fueron confirmadas y Hertz demostró experimentalmente que las ondas electromagnéticas se reflejaban, se retractaban y sufrían interferencias al igual que las ondas luminosas. En su honor recibieron el nombre de ondas herzianas.

2. VARIABLES:

Cada una de las magnitudes mecánicas y eléctricas está específicamente representada por un aspecto del modelo mecánico.

En un medio conductor, la intensidad de corriente en un punto (j) vienen representada por el número de bolas que pasan por ese punto en un segundo, midiéndose en A/m². La intensidad de la fuerza mecánica (H) viene representada por la velocidad del remolino en su superficie. Su dirección viene dada por la del eje del remolino; Maxwell supone que si miramos a lo largo del eje del remolino y vemos que éste gira en el sentido de las agujas del reloj, entonces estamos mirando en dirección norte, es decir, aquella hacia donde sería impulsado el polo norte magnético. La densidad media (masa) de los remolinos se corresponde con la permeabilidad magnética del campo (m); si se trata de la permeabilidad del campo en el vacío, (m₀) se mide en H/m o V seg/m (=4p x 10^-7 H/m).

Si dos remolinos vecinos describen un movimiento de rotación con velocidades distintas, sobre las partículas que hay entre ellas se ejerce una fuerza tangencial. Esta fuerza representa la parte de la fuerza electromotriz (E), medida en N/C, debida a la inducción. El estado electrotónico o potencial vectorial (A) está relacionado con el momento de los remolinos, por lo cual la fureza electromotriz es una función de la variación del momento de los remolinos.

En la descripción dimensional de los fenómenos electromagnéticos, se necesita una cuarta unidad para la carga eléctrica o corriente eléctrica. Se ve que la selección dimensional de la cuarta unidad (carga) adoptada para el sistema mks, depende de los valores que se escojan para las constantes �₀ y m ₀que aparecen en las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, sólo una de esas constantes es arbitraria a la vista de la relación para la velocidad de la luz,

1

- c = ��� = 2,99792 x 10⁸ 3 x 10⁸ m/s

��m₀�₀�

lo cual es un valor determinado experimentalmente. En el sistema mks, la unidad de carga es el coulomb, que se define haciendo la constante m ₀ igual a 4p x 10^-7. Entonces se obtiene el valor de la constante �₀

1

- �₀ = ��

m ₀c²

que, si se hace la aproximación c 3 x 10⁸ m/s para la velocidad de la luz, produce la buena aproximación

10^-9

-�₀ �� 8.85 x 10^-12 F/m

36p

Este valor de � , sustituido en la expresión por la fuerza de Coulomb, proporciona entonces el valor de escala para obtener la fuerza entre cargas en newtons, en las que las cargas q y q están dadas en coulombs y están separadas una distancia dada en metros.

Por otra parte, si las bolitas están formando parte de un dieléctrico, no podrán desplazarse de su posición pero sí sufrir una deformación elástica bajo la acción de las fuerzas que actúan sobre ellas.

En el modelo de Maxwell, la carga está producida por una presión mutua ejercida por las partículas eléctricas. La presión es análoga al potencial eléctrico o tensión (Y).

Se describen también constantes como la constante dieléctrica o capacidad inductiva específica del medio (e) que relaciona el desplazamiento (D) con la enegía del campo eléctrico. Así también la resistividad del medio (r), la densidad de flujo de campo eléctrico (B) y la densidad de la carga eléctrica (rq) en C/m³.

2.1. Densidad de carga:

El origen de todos los fenómenos magnéticos, es la existencia de la carga eléctrica y el movimiento de la misma. En definitiva, por medio de un campo electromagnético lo que se pretende, es describir satisfactoriamente las interacciones entre cargas y elementos de corriente. Parece pues, que el primer paso de nuestro intento, sea representar matemáticamente estas magnitudes haciendo posible su manejo.

Las partículas eléctricas fundamentales de la materia son las cargas eléctricas. Las cargas eléctricas pueden ser positivas i negativas. Se demuestra experimentalmente que la carga eléctrica total de un conjunto definido de materia se conserva y que además, la carga eléctrica solamente existe en múltiplos enteros del electrón e= -1.16 x 10^-19 coulombs; esto implica que la carga está cuantificada.

Desde el punto de vista del electromagnetismo clásico, una carga eléctrica, puede subdividirse indefinidamente de tal forma que se define como densidad de carga volumétrica r_v a la relación:

Dq

r = ��� C/m³

Dv

donde Dq es la carga existente en un Dv de volumen. En sentido riguroso, r_v sólo representa una función continua, si Dv tiende a cero a escala macroscópica, es decir de tal forma que el elemento de volumen considerado contenga un número elevado de partículas discretas cargadas.

Como quiera que la carga que se encuentra dentro de un elemento de volumen puede variar de un punto a otro, es evidente que la densidad de carga es una función de las coordenadas y posiblemente del tiempo. Así pues, r_v es un campo escalar, que se expresa en general por r_v(x,y,z,t) o simplemente r_v(r,t).

En algunos problemas físicos, se identifica la carga con un elemento de superficie o de línea, en vez de volumen. Entonces la relación queda:

Dq

r_v = �� C/m²

Ds

Dq

r_v = �� C/m

Dl

La cantidad total de carga contenida en una región volumétrica, superficial o lineal, de acuerdo con las ecuaciones anteriores será:

q = �_v r_v dv ; q = �_s r_s ds ; q = �_g r_l dl

donde v, s y g representan respectivamente el volumen, superficie y curva de integración.

2.2    Campo eléctrico:

Si se tiene un conjunto de cargas eléctricas y se coloca una pequeña carga de prueba inmóvil q en esa región, esta carga experimentará una fuerza F (newton). Esta fuerza es proporcional a la carga q, de tal modo que el cociente F/q es un invariante que representa una propiedad local del espacio. El cociente anterior se denomina campo eléctrico E, de tal modo que se cumple:

F

E = �� V/m

- q

Según esta ecuación el campo eléctrico sería la fuerza que por unidad de carga experimenta una pequeña carga de prueba estacionaria colocada en el punto donde se quiere determinar E. La exigencia de que la carga de prueba tenga un valor pequeño, es para asegurar que no se perturbe la configuración de cargas cuyo campo se medirá. El campo eléctrico E es un campo vectorial cuya dirección y sentido corresponde al de la fuerza F en cada punto de la región.

2.3. Densidad de corriente:

Sabemos que un movimiento ordenado de cargas eléctricas en una cierta dirección constituye una corriente eléctrica. Consideremos por ejemplo que se tiene un medio con una distribución de carga de densidad volumétrica r_v y supongamos que las cargas tienen unas velocidades medias representadas por la función vectorial u(x, y, z, t). Se puede definir una densidad de corriente J en un punto P de la región, por la expresión:

J = r _vu A/m²

En general si se tienen diferentes tipos de cargas libres en el medio con densidades volumétricas r_vi y velocidades u_i, la densidad de corriente es igual a:

J = Sr_vi u_i

Los medios que contienen cargas libres pueden ser: los metales, los semiconductores y los electrólitos.

La densidad de corriente J es una medida, en el entorno de punto P, de la cantidad de carga eléctrica que atraviesa en una unidad de tiempo, la unidad de superficie normal a u. Si se tiene una superficie S a través de la cual existe movimiento de cargas, el flujo de J a través de S, se denomina intensidad de la corriente eléctrica i:

- i = �_s J ds A

Cuando se aplica un campo eléctrico E a un material que posee electrones libres, aparece una fuerza en éstos. Si el medio en el que se mueven las cargas fuera ideal se produciría una aceleración de las cargas de acuerdo con la ley de Newton:

du

F = qE = -eE = m �� N

- dt

donde se ha considerado únicamente la fuerza sobre un electrón de carga -e y masa m. Integrando la ecuación anterior se obtiene la velocidad u:

-eE

- u = ���� t m/s

m

lo cual indica que la velocidad de los electrones aumenta linealmente con el tiempo hacia el infinito, lo que está en contradicción con los resultados experimentales. Lo que ocurre en realidad es que en la materia real, existe una fuerza amortiguadora adicional resultan de los choques de los electrones con las redes cristalinas del medio, los cuales producen un calentamiento del material recorrido por la corriente. La velocidad amortiguadora estabiliza los electrones, resultando una velocidad de arrastre u_d constante y cuya magnitud es proporcional al campo eléctrico.

Si denominamos t_c el tiempo libre medio entre colisiones, se tendrá un valor para la velocidad media de arrastre:

1 -eE -eE

- u = � (0 + ���t_c) =���� t _c = mE m/s

2 m 2m

2.4. Inducción magnética:

El campo magnético es un concepto introducido en electromagnetismo para explicar las fuerzas que aparecen entre corrientes eléctricas. Los campos magnéticos son producidos por corrientes eléctricas, con imanes o si existen campos variables. Una carga eléctrica en movimiento que es equivalente a una corriente eléctrica, también produce un campo magnético.

Si se mueve una carga eléctrica q, en la zona de acción de una corriente eléctrica, a una velocidad u, aparecerá una fuerza de origen magnético sobre la carga que es proporcional a q, a su velocidad u, y es perpendicular a esta última. Esta fuerza es proporcinal y perpendicular a la inducción magnética B en ese punto del espacio:

F = q(u x B) N

Donde x representa un producto vectorial. Esta expresión se puede tomar como una definición axiomática de la inducción magnética B.

3. LAS ECUACIONES MATERIALES:

3.1. Desplazamiento eléctrico, polarización y permitividad:

Un material aislante o dieléctrico no contiene electrones libres, por ello al aplicar un campo eléctrico sobre él no se produce ningún movimiento de cargas, como es el caso de un conductor. Desde el punto de vista microscópico, un dieléctrico está formado por átomos con un núcleo de cargas positivas y una nube de electrones alrededor del núcleo. Generalmente el átomo es eléctricamente neutro. Al aplicar un campo eléctrico externo se ejercen unas fuerzas sobre las partículas cargadas de cada átomo, provocando un desplazamiento del centro de gravedad de la nube electrónica respecto del núcleo. El átomo sigue siendo neutro, pero los centros de gravedad de las distribuciones de carga positiva y negativa se separan una distancia. Este conjunto de dos cargas iguales y diferente signo, separadas una distancia, se conoce con el nombre de dipolo eléctrico. Se denomina momento dipolar p al producto de la carga q por la distancia d, es un vector cuyo sentido va de la carga negativa a la positiva. Este momento dipolar se opone al campo eléctrico aplicado.

Se define campo de polarización P de un dieléctrico, el momento dipolar por unidad de volumen:

Sp

P = lím_Dv�0 ���� C/m²

Dv

el efecto del campo eléctrico E aplicado se representa en el dieléctrico por el desplazamiento eléctrico D, que se define:

D = e₀E + P

Donde e ₀es la constanta dieléctrica o permitividad en el vacío que vale:

1

e₀ = ���� 10 ^-9 C/Vm

36p

cuando el medio dieléctrico es lineal e isótropo la polarización P es directamente proporcional al campo eléctrico:

P = c_ee₀ E C/m²

Donde c_e es una cantidad sin dimensiones que se denomina susceptibilidad eléctrica. Al sustituir este valor de P en la definición de D queda:

D = e_{0 (1 +} c_e)E = e₀ e_r E = eE

Donde:

e

e_r = 1 + c_e = ���

e_o

es una constante sin dimensiones que se conoce por el nombre de permitividad relativa o constante dieléctrica del medio. El coeficiente e =e _re₀ es la permitividad absoluta o simplemente permitividad.

En el vacío y aproximadamente en el aire, la polarización P es nula y de este moda nos da:

D = e₀E C/m²

Lo que nos indica que e_r = 1. Esto se debe a que las permitividades se toman en referencia al vacío.

3.2. Campo magnético, imanación, permeabilidad:

Las propiedades magnéticas de los materiales son debidas a una propiedad cuántica del electrón que recibe el nombre de momento magnético del spin

En la mayoría de los materiales, loas átomos poseen el mismo número de electrones con momento magnético positivo que negativo, de este modo no aparece ningún efecto magnético exterior. Cuando los poseen en número distinto, ese desequilibrio provoca la aparición de un momento magnético resultante que se une al de algunos átomos vecinos formando dominios magnéticos con el mismo sentido de momento magnético. Cuando se aplica un campo magnético exterior se produce un alineamiento de todos los momentos de todos los dominios, dando lugar a la aparición de un momento magnético resultante.

Se define el campo de imanación M, de un material magnético o vector de magnetización al momento dipolar magnético por unidad de volumen:

Sm

M = lím_Dv�0 ���� A/m

Dv

El campo magnético H se define a partir de la inducción B y la imanación M por la relación:

B

H = ��� -M A/m

m₀

Cuando el medio magnético es lineal e isótropo, la imanación M es directamente proporcional al campo magnético

M = c_m H Vs/Am

Donde c_m es una cantidad sin dimensiones que se denomina susceptibilidad magnética.

B = m ₀(1 + c_m)H = m₀ m_r H = mH Teslas

Donde:

m

m_r = 1 + c_m = ���

m₀

es una constante sin dimensiones que se conoce con el nombre de permeabilidad relativa del medio. El coeficiente m = m_r m₀ es la permeabilidad absoluta o simplemente permeabilidad.

3.3. La ley de Ohm:

Si se considera un conductor con n electrones por unidad de volumen, la densidad volumétrica de carga "libre" sería: r_v = -ne dará lugar a una densidad de corriente de valor:

- ne²

J = r _vu_d = -neu_d = ���� t_cE A/m²

2m

la ecuación anterior demuestra que la densidad de corriente es directamente proporcional al campo eléctrico aplicado. Los experimentos demuestran que el modelo es estremadamente exacto para una amplia gama de conductores. La ecuación anterior se suele expresar:

J = sE A/m²

Que es la ley de Ohm en forma puntual. El factor s recibe el nombre de conductividad y se puede expresar:

- ne²

s = ����t _c s/m

2m

En los conductores, la conductividad tiene un valor elevado y en los aislantes el valor es pequeño. Desde el punto de vista ideal se considerará un conductor perfecto si s =�, mientras que se considerará aislante perfecto si s = 0.

4. ECUACIONES DE MAXWELL:

Maxwell se planteó el problema de desarrollar las ideas de Faraday dentro de una teoría matemática del electromagnetismo. Utilizaba, como Thomson, una interpretación en función del éter, lo cual le permitió construir varios modelos matemáticos que podía estudiar utilizando las leyes de Newton. Maxwell era consciente de que su interpretación era algo distinta a la de Faraday, pero pensaba que era preferible a la teoría del campo.

A lo largo de todo su trabajo sobre electricidad, Maxwell siguió el "método de las analogías". Lo liberador de este método reside en el hecho de que permite el desarrollo de teorías, en un principio consideradas como falsas, pero que pueden arrojar luz sobre la verdad.

Maxwell construyó "analogías" de dos de las teorías de Faraday, poniéndolas en lenguaje matemático:

-          Veamos en primer lugar la analogía de las líneas de fuerza que presentó Maxwell. Si llenamos de líneas de fuerza el espacio que rodea a un imán, como lo hizo Faraday, "obtendríamos un modelo geométrico de los modelos físicos que nos indicaría la dirección de la fuerza, pero no su intensidad en cualquier punto, para lo cual necesitaríamos de otro método". La solución de Maxwell consistía en "considerar estas curvas no como simples líneas, sino como finos tubos de sección variable que transportan un fluido incomprensible". En cualquier punto del campo, la magnitud dirección de la fuerza vendrá entonces representada por la dirección y magnitud del fluido imaginario.

-          Pasemos ahora a la "analogía" mecánica de la electricidad. La carga positiva se considera como una fuente de fluido que vierte de forma continua en una cantidad de fluido que depende de su intensidad. La carga negativa es como un sumidero que absorbe todo el fluido de las proximidades proporcionalmente a su intensidad. Según Faraday, hay la misma cantidad de carga positiva que de negativa, y por tanto los sumideros nunca dejan de absorber fluido. Se trata, desde luego, de un fluido extraño que continuamente está creándose en un lugar y destruyéndose en otro. Pero Maxwell recalcaba que, al tratarse de una analogía matemática de los fenómenos, podemos asignarle todas las propiedades que queramos.

Maxwell se dedicó al arduo problema de encontrar una explicación mecánica de las leyes que había expresado matemáticamente, una explicación que condujera a una teoría unificada de la electricidad. El problema de Maxwell se centraba, pues, en dar con un modelo del éter del campo electromagnético que incorporara la masa y elasticidad necesarias para la velocidad finita de la inducción y que fuera coherente con los fenómenos eléctricos y magnéticos ya conocidos. A partir de este mecanismo, podría quizá deducir nuevas ecuaciones del campo.

El primer paso de la construcción del modelo es introducir la hipótesis fundamental de que la masa de los remolinos magnéticos depende de la permeabilidad magnética del medio. Por lo tanto, la energía del campo magnético - la energía cinética de los remolinos - es función de la constante de permeabilidad.

El segundo paso era encontrar una analogía mecánica de la corriente eléctrica que estableciera una relación entre ésta y el magnetismo. Maxwell propuso una solución muy ingeniosa que consistía en suponer que la electricidad está constituida por bolitas que separan a unos remolinos magnéticos de otros, considerando a éstos como barras flexibles con superficies rugosas. El desplazamiento de las partículas eléctricas constituye la corriente eléctrica. Mientras pasa la corriente, las partículas se mueven de un remolino a otro. Al desplazarse pueden dar saltos y provocar una pérdida de energía que aparece en forma de calor; pero mientras están girando, no hay rozamiento entre la partícula y el remolino, y no se producen pérdidas de energía. En principio, pues, parece posible mantener indefinidamente un campo magnético.

El tercer paso fue el suponer que los remolinos magnéticos están dotados de elasticidad. Esta hipótesis exige una velocidad finita de variación de los estados del mecanismo: una velocidad de inducción finita. Y proporciona también una explicación de la electricidad estática: en un dieléctrico, los ejes de los remolinos magnéticos no pueden moverse. Si una causa exterior al mecanismo ejerce fuerzas sobre las partículas eléctricas, éstas deforman elásticamente los remolinos magnéticos. Esta deformación pone en juego a las fuerzas elásticas del remolino, que presiona sobre las partículas eléctricas circundantes. Se supone que la fuerza de un remolino sobre una partícula eléctrica representa la fuerza eléctrica debida a la carga. Así pues, Maxwell, al igual que Faraday, aportó una teoría de campo de la carga.

La definición del campo electromagnético debido a Maxwell era esencialmente completa. Llegó a deducir las cuatro ecuaciones de Maxwell:

� B

- rot E = � ����

� t

� E

- rot B = m₀ e₀ ��� + m₀ J

� t

1

- div E = �� r

e₀

- div B = 0

Están escritas para los campos en el vacío, en presencia de una densidad de carga r y de corriente, es decir, cargas en movimiento de densidad J.

La primera ecuación es la ley de la inducción de Faraday. La segunda expresa la dependencia del campo magnético de la densidad de corriente de desplazamiento, o velocidad de variación del campo eléctrico, y de la densidad de la corriente de conducción o variación del movimiento de la carga con el tiempo. La tercera ecuación es equivalente a la ley de Coulomb. La cuarta nos indica que no existen fuentes del campo magnético con excepción de las corrientes.

La falta de simetría de estas ecuaciones con respecto a B y E es enteramente debida a la presencia de carga eléctrica y corriente de conducción eléctrica. En el espacio vacío los términos con r y J son nulos y las ecuaciones de Maxwell se convierten en:

� B

- rot E = � �� div E = 0

� t

� E

- rot B = m₀ e₀ �� div B = 0

� t

Aquí lo importante es el término debido a la corriente de desplazamiento. Su presencia, al igual que su contrapartida en la primera ecuación, implica la posibilidad de ondas electromagnéticas. Comprendiendo esto, Maxwell desarrolló con brillante éxito, la Teoría electromagnética de la luz.

4.1. Ecuaciones de Maxwell en su forma integral para el espacio vacío:

Las ecuaciones de Maxwell, las cuales se postulan aquí en forma integral para los campos E y B en el espacio vacío, proporcionan las relaciones entre los campos de fuerzas eléctrica y magnética y sus distribuciones asociadas de carga y corriente en el espacio vacío.

�_S ( �₀e)• ds = �_v r_v dv C (4-1)

�_s B ds = 0 Wb (4-2)

d

�_l E dl = - �� �_s B ds V (4-3)

dt

B d

�_l ��� dl = �_s J ds + �� �_s ( �₀ E) ds A (4-4)

m₀ dt

Las ecuaciones de Maxwell (4-1) a (4-4) deben de satisfacerse simultáneamente por las soluciones de E y B para todas las trayectorias cerradas posibles l y superficies l en la región del espacio ocupado por esos campos. Este requisito estricto parecería limitar bastante la cantidad de problemas prácticos que pueden resolverse mediante esas integrales; en efecto, su aplicación al descubrimiento de soluciones de campo E (u₁, u₂, u₃, t) y B (u₁, u₂, u₃, t) está restringido, en el tratamiento actual, a problemas en que las distribuciones de carga o de corriente tienen simetrías específicas que sirven para simplificar las soluciones.

A.      Ley de Gauss para campos eléctricos en el espacio vacío:

La ley integral de Maxwell (4-1)

�_S (� E) ds = �_V r_v dv � q

también se conoce como la ley de Gauss para los campos eléctricos en el espacio vacío.

Así, si se da un campo eléctrico E = E (u₁ ,u₂ ,u₃ , t) en el espacio (indicado por la distribución de líneas de flujo en la figura), significa que la integración de (�₀ E) ds sobre cualquier superficie cerrada S (en la cual el flujo neto de �₀ E sale de S) es una medida de la cantidad de carga eléctrica q, contenida dentro del volumen V encerrado por S. Ya que se debe tomar el flujo de �₀ E como positivo hacia fuera de S, se supone que el sentido positivo de cada elemento de superficie ds sobre S es hacia fuera. A la cantidad �₀ se le llama permitividad del espacio vacío.

La ley de Gauss (4-1) es algo más que un criterio de la cantidad de carga contenida por una superficie cerrada; debe de satisfacerse para todas las superficies cerradas posibles que se puedan construir en una región que contenga a E (r, t) y a una distribución relacionada de cargas r_v (r, t). A veces se pude emplear la ley de Gauss para encontrar soluciones para E, siempre que se conozca la distribución r_v de cargas, aunque esto sólo se realiza en pocos ejemplos de distribuciones de carga estática con simetrías espaciales determinadas.

B.      Ley Circuital de Ampere en el espacio vacío:

La ley integral de Maxwell (4-4)

B d dy_e

�_l ��� dl = �_S J ds + �� �_S (�₀ E) ds = i + ��

m₀ dt dt

con frecuencia se conoce como ley circuital de Ampere para el espacio vacío. La figura ilustra los significados de las magnitudes del campo, relativas a cualquier línea cerrada l que limita una superficie S. La dirección positiva del elemento ds puede tomarse a cualquier lado de S, pero el sentido de integración positiva alrededor de l debe de concordar con la regla de la mano derecha con respecto a ds. La relación (4-4) significa que la integral de línea del campo B (modificado por m₀^-1) alrededor de cualquier trayectoria cerrada arbitraria l en todo instante t, debe de ser igual a la suma de la corriente eléctrica neta i, más la relación de cambio en el tiempo del flujo eléctrico neto y_e que pasa a través de la superficie S limitada por l.

Los dos términos a la derecha de (4-4) denotan las dos clases de corrientes eléctricas que ocurren físicamente en el espacio vacío. La primera, i, recibe el nombre de corriente de convección cuando está formada por una o más especies de cargas en movimiento en el espacio vacío; también se le llama corriente de conducción si se debe a las cargas eléctricas libres que se transportan dentro de un sólido, líquido o gas. El segundo término dy_e / dt, se conoce como corriente de desplazamiento que indica la relación de cambio en el tiempo de flujo eléctrico instantáneo neto y_e y que atraviesa la superficie S. La corriente de desplazamiento es la contribución histórica de Maxwell, quien proporcionó el eslabón faltante en la unificación de las teorías de electricidad y magnetismo y predijo la propagación de las ondas electromagnéticas en el espacio vacío en ausencia de cargas y corrientes.

Comparando (4-4) contra la ley de Gauss (4-1) se ve que la ley circuital de Ampere es más comprensiva; abarca ambos campos: el magnético B y el eléctrico E variable en el tiempo, al igual que las corrientes eléctricas que pudieran fluir en una región. En efecto, especifica qué corrientes eléctricas o campos eléctricos variables en el tiempo, en el espacio, o ambos, darán lugar a un campo magnético B tal, que se debe satisfacer (4-4) para todas las líneas cerradas, posibles, construidas en la región.

En general, no es factible una aplicación directa de la ley circuital de Ampere (4-4) en la obtención de soluciones para E (r, t) y B (r, t) como campos variables en el tiempo cuando, por ejemplo, se especifica en cierta manera una distribución de corrientes J (r, t). La dificultad consiste, en parte, en no saber cómo especificar la distribución de corriente sin más información relativa a los campos adyacentes; las complejidades podrán apreciarse mejor, si se reconoce que las soluciones de campo deben satisfacer simultáneamente las cuatro relaciones integrales de Maxwell (4-1) a (4-4).

Sin embargo, se pueden descubrir algunas ilustraciones sencillas de la aplicación de la ley circuital de Ampere para la determinación de los campos magnéticos debidos a distribuciones de corriente estática en el tiempo (corriente directa). En el caso estático, (4-4) se reduce a una expresión de la que está ausente el término de corriente de desplazamiento.

B

�_l �� dl = �_S J ds � i ley de Ampere para campos estáticos.

m₀

C.      Ley de Faraday:

La ley integral de Maxwell (4-3)

d dy_m

�_l E dl = � ��� �_S B ds = � ��

dt dt

se atribuye a la obra de Faraday, y se conoce como la ley de la fuerza electromotriz inducida (fem). La esencia de esta ley de electromagnetismo se expresa en la simbología de la figura. La relación del sentido positivo de la integración de línea con la dirección positiva supuesta para ds, es la misma que para la ley circuital de Ampere. La ley de Faraday (4-3) expresa que, la relación de disminución en el tiempo del flujo magnético neto y_m, que pasa por cualquier superficie arbitraria S, es igual a la integral del campo E alrededor de la línea cerrada que limita a S, lo que equivale a decir que un flujo magnético variable en el tiempo genera un campo E. En general, éste también debe variar en el tiempo para que se realice (4-3) en cada instante.

Las soluciones válidas para los campos E (r,t) y B (r, t) que cumplan con la ley de Faraday (4-3) también deben cumplir con las relaciones integrales de Maxwell restantes (4-1) a (4-4); sin embargo, si las variaciones de los campos en el tiempo no son demasiado rápidas, en algunas ocasiones se sobreentiende que la solución estática para B, que realiza la forma estática de la ley circuital de Amper:

B

�_l ��� dl = �_S J ds = i

m_o

es el campo conocido . Si las densidades J de corriente varían lentamente en el tiempo, se sobreentiende que darán lugar a un campo B que varíe lentamente con el tiempo. A tal campo estático, en que se imponen las variaciones en el tiempo, se le llama cuasiestático. Insertando en el campo cuasiestático B (r,t) en la ley de Faraday (4-3), se puede obtener una aproximación de primer orden al campo E de (4-3). A veces se puede emplear un proceso iterativo para mejorar la exactitud de la solución cuasiestática, aunque, si las variaciones en el tiempo de los campos no son excesivamente rápidas, con frecuencia basta la solución de primer orden.

La ley de Faraday para campos estrictamente estáticos en el tiempo es (4-3) con su lado derecho reducido a cero

�_l E dl = 0 ley de Faraday para campos estáticos en el tiempo

la cual expresa que la integral de línea de un campo estático E alrededor de cualquier trayectoria cerrada, siempre es cero. Los campos que cumplen con esta ley se conocen como conservativos; todos los campos eléctricos estáticos son conservativos.

Se puede considerar a todas las distribuciones estáticas de cargas en el espacio como superposiciones de concentraciones de cargas puntiformes dq = r_v dv en los elementos de volumen dv en el espacio. Por otra parte, se ha demostrado que el campo eléctrico de una carga puntiforme Q es

Q

E = a_r ���

4p�_or²

Es fácil demostrar que este campo eléctrico obedece a la ley de Faraday para un campo estático en el tiempo. Si en el espacio, alrededor de una carga puntiforme, se escoge cualquier trayectoria cerrada tal como l = l_a + l_b , la integral desde cualquier punto A a cualquier punto B a lo largo de la trayectoria l_a es

Q Q 1 1

E dl = � [a _r ��� ] (a_r dr + a_q r dq + a_f rsen q df ) = ����[ � � � ]

4p�₀r² 4p�₀ r₁ r₂

Se ve que este resultado es independiente de la elección de la trayectoria que conecta A con B; es una función sólo de las distancias radiales r₁ y r₂ a los puntos extremos respectivos A y B. En consecuencia, si se toma la integración alrededor de la trayectoria completa l = l_a + l_b , se cancelan las dos integrales desde A hasta B, a través de l_a y luego desde B de vuelta a A por l_b, y se cumple la ley de Faraday.

D.      Ley de Gauss para los campos magnéticos:

La ley integral de Maxwell (4-2)

�_S B ds = 0

también se conoce como la ley de Gauss para campos magnéticos. Esta especifica que el flujo magnético neto (positivo o negativo) que emana de cualquier superficie cerrada S, en el espacio, siempre es cero. Este enunciado se ilustra en la figura; en (a) de la misma, hay una superficie S cerrada, arbitraria, construida en la región y que contiene una configuración generalizada de flujo magnético con densidad B (r, t) en el espacio. La ley integral de Maxwell requiere que de cada superficie cerrada S de ese tipo, emane un total de cero líneas magnéticas netas, lo que quiere decir que las líneas de flujo magnético siempre forman líneas cerradas. En forma equivalente, expresa que los campos magnéticos no pueden terminar en fuentes de cargas magnéticas por el motivo de que físicamente no existen cargas magnéticas libres, lo cual contrasta con la conclusión a la que se llega de la ley de Gauss (4-1) para los campos eléctricos; el hecho de que el término del lado derecho de esa relación no sea cero y que comprende la función de densidad de carga eléctrica r_v, revela la existencia física de cargas eléctricas libres.

Es fácil encontrar ejemplos físicos que ilustran la naturaleza cerrada de las líneas de flujo magnético. En la figura (b) se ilustra nuevamente el campo magnético de un alambre largo, recto, que lleva una corriente; las líneas de flujo no interrumpidas explican que a la superficie cerrada S entran precisamente tantas líneas de flujo magnético como las que salen de la misma; así sucede para todas las superficies cerradas que podrían construirse en el espacio para ese campo.

4.2. Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial para el espacio vacío:

La definición de la divergencia de un campo vectorial sirve como base para obtener las formas diferencial o interna de dos de las ecuaciones de Maxwell, a partir de sus formas integrales correspondientes (4-1) y (4-2) para el espacio vacío

�_S(�₀ E) ds = �_V r_v dv C

�_S B ds = 0 Wb

Esas leyes se aplican a superficies cerradas S de forma y tamaño arbitrarios. Si S es la superficie que limita a cualquier elemento Dv, de volumen pequeño, dividiendo (4-1) entre Dv se tiene

�_S(�₀E) ds �_V r_vdv

���� = ����

Dv Dv

El límite del lado izquierdo, conforme Dv se hace suficientemente pequeño, es div(�₀E) de la definición de la divergencia de un campo vectorial. El lado derecho denota la relación de la carga libre Dq dentro de Dv al propio Dv; su límite es r_v. Por ende, conforme Dv�0, nos queda

- div (�₀E) = r_v C/ m³

que es la forma diferencial de la expresión integral (4-1) de Maxwell. Al expresar esta ecuación en coordenadas rectangulares se obtiene la ecuación diferencial parcial

�E_x �E_y �E_z r_v

��� = ��� = ��� = ��

�x �y �z �₀

Es evidente que la divergencia de (�₀E) en cualquier punto, en una región, es precisamente r_v, la densidad del volumen de carga eléctrica allí, si se supone que las fuentes de flujo de los campos E son de cargas eléctricas. De manera equivalente, si las líneas de campos eléctricos terminan abruptamente, sus puntos de terminación deben de ser cargas eléctricas.

Por un procedimiento semejante, aplicando (4-2), se obtiene la siguiente ecuación diferencial parcial en términos de B

- div B = 0 Wb/m³

lo que implica que los campos de B siempre son sin divergencia y en consecuencia, no tienen fuentes. Por tanto, la gráfica de flujo de cualquier campo B debe consistir invariablemente en líneas cerradas; así que en el mundo físico no existen las cargas magnéticas libres. A un campo sin divergencia también se le llama campo solenoidal; los campos magnéticos son siempre solenoidales.

Se puede utilizar la definición de rotacional en forma semejante para obtener las formas diferenciales de las ecuaciones restantes (4-3) y (4-4). Debido a que las últimas son correctas para líneas de formas y tamaños arbitrarios, se puede escoger a l en forma de cualquier trayectoria cerrada y pequeña que limite a a₁ Ds₁ en la vecindad de cualquier otro punto. Tomando la relación de (4-3) a Ds₁ asignando el sentido vectorial a₁ a cada lado, se tiene

d

� �� �_Ds1 B ds

�_l E dl dt

- a₁ ���� = a₁ ��������

Ds₁ Ds₁

De

�_l F dl

- a₁ [rot F]₁ � a₁ lím_Ds1�0 ����

Ds₁

conforme Ds₁�0, el lado izquierdo se hace a₁ [ rot E]₁. El lado derecho denota la velocidad de disminución de la relación del flujo magnético Dy_m a Ds₁, pero esta es precisamente la componente B₁ en el punto P. Por tanto, el límite de la primera ecuación se reduce a

�(a₁ B₁)

a₁ [rot E]₁ = � ����

�t

y que relaciona la componente a₁ del rot E con la velocidad de disminución de la componente a₁ de la densidad de flujo magnético B en cualquier punto. La selección de la dirección asignada por a₁ es arbitraria, lo que implica que también son válidos dos resultados semejantes alineados con las direcciones de los vectores unitarios a₂ y a₃ e independientes de esta ecuación. Combinándolos vectorialmente, se obtiene el rotacional total de E en el punto

�

- a₁ [rot E]₁ + a₂ {rot E]₂ + a₃ [rot E]₃ = � ��� [a₁ B₁ + a₂ B₂ + a₃ B₃]

�t

de la que se puede obtener la forma más compacta

�B

- �Ñ x E = � ��� V/ m²

�t

que es la forma diferencial de la ley de Faraday (4-3). La ecuación anterior expresa que el rotacional de campo E en cualquier posición es precisamente la rapidez del campo B allí, lo que implica que la presencia de un campo magnético B variable en el tiempo, en una región, es responsable de que surja un E inducido variable en el tiempo en la misma región, tal que la ecuación anterior se satisface en todas partes.

A la relación de Maxwell (4-4) se le puede aplicar un procedimiento semejante al que usó para deducir la última ecuación, lo que da la ecuación diferencial

B �(�₀ E)

- Ñ x �� = J + ���� A/m²

m₀ �t

y que expresa que el rotacional de B/m₀ en cualquier punto, en una región, es la suma de la densidad J de corriente eléctrica y la densidad �(�₀ E)/�t que aparece en las dos últimas ecuaciones se debe hacer igual a cero. Esta restricción proporciona las siguientes relaciones del rotacional para campos estáticos en el tiempo

- Ñ x E = 0

Relaciones de rotacional para campos estáticos E y B

B

- Ñ x ��� = J

m₀

La primera de estas dos ecuaciones expresa que cualquier campo E estático es irrotacional (conservativo), en tanto la segunda especifica que el rotacional de un campo B, estático en todo punto del espacio, es proporcional a la densidad J de corriente allí.

4.3. Resumen de las ecuaciones de Maxwell en forma compleja y armónica en el tiempo:

Las soluciones sinusoidales de estado estable o armónicas en el tiempo de las ecuaciones de Maxwell también son de importancia. Los campos E y B, armónicos en el tiempo, se generan siempre que sus fuentes de carga y corriente tengan densidades que varíen sinusoidalmente en el tiempo. Suponiendo que las fuentes sinusoidales hayan estado activas el tiempo suficiente como para que las componentes de campos transitorios hayan decaído hasta niveles despreciables, se puede hacer la suposición adicional de que E y B han alcanzado un estado sinusoidal estable. Entonces E y B varían de acuerdo con los factores cos(wt + q_e) y cos(wt + q_b), en que q_e y q_b denotan fases arbitrarias y w es la frecuencia angular. Se logra otra formulación equivalente si se supone que los campos varían de acuerdo con el factor exponencial complejo e^jwt. Esta suposición lleva a una reducción de las funciones de campo del espacio y tiempo a las funciones de espacio solamente.

4.4. Ecuaciones de Maxwell para campos eléctricos estáticos:

Al estudiar las relaciones estáticas de Maxwell se ve una nueva propiedad no válida para sus formas más generales variables en el tiempo. De esa manera, los campos eléctricos estáticos D y E están regidos únicamente por las propiedades de divergencia y rotacional

- Ñ � D = r_v

- Ñ x E = 0

en tanto que el comportamiento de los campos magnéticos estáticos B y H está dictado por

- Ñ � B = 0

- Ñ x H = J

Se ve que en esos pares de ecuaciones falta el acoplamiento entre las cantidades de campo eléctrico y magnético, generalmente proporcionadas bajo condiciones variables en el tiempo por los términos ��B/�t y �D/�t. De la primera expresión de divergencia, las fuentes de campos electrostáticos son cargas estáticas de densidad r_v. Por otra parte, las fuentes de los campos magnetostáticos son corrientes estáticas (directas), En la tabla se dan las ecuaciones diferenciales de la electrostática junto con sus formas integrales y sus condiciones de frontera. Más aún, la siguiente fórmula es aplicable para un material homogéneo e isotrópico.

- D = �E

Tabla- Ecuaciones de Maxwell para la electrostática

�������������������������������������������

Forma diferencial Forma integral Condición de frontera

�������������������������������������������

Ñ � D = r_v �_S D ds � q D_n1 � D_n2 = r_s

Ñ x E = 0 �_l E dl = 0 E_t1 � E_t2 = 0

�������������������������������������������

Ya se ha señalado que se requieren campos magnéticos estáticos para satisfacer solamente las ecuaciones de Maxwell

- Ñ � B = 0

- Ñ x H = J

La propiedad de no divergencia especifica que las líneas de flujo B siempre están cerradas, en tanto que la segunda de ellas expresa que las fuentes de campos magnéticos estáticos son corrientes estables de densidad J. Más aún, la propiedad sin divergencia de cualquier distribución de corriente directa en el espacio está asegurada por

- Ñ � J = 0

aunque esta propiedad de la corriente directa no es independiente de las ecuaciones de Maxwell, debido a que ésta es una consecuencia de tomar la divergencia de la segunda de las ecuaciones anteriores. Las tres ecuaciones diferenciales anteriores tienen integrales correspondientes dadas por

-�_S B ds = 0

-�_l H dl = i

- �_S J ds = 0

en tanto que la relación constitutiva entre B y H en cualquier punto, para los materiales homogéneos e isotrópicos considerados, está dada por

- B = m H

Ya deducidas las condiciones de frontera para campos magnéticos bajo la suposición general de variaciones en el tiempo para los campos, aunque se mantienen sin cambio bajo condiciones estáticas. Están dadas por

- B_n1 � B_n2 = 0

- H_t1 � H_t2 = 0

- J_n1 � J_n2 = 0

que aseguran la continuidad de las componentes normales de los campos estáticos B y J en cualquier interacción, al igual que las componentes tangenciales de H.

La presencia de una corriente en una región finitamente conductora implica la presencia de un campo E, a la vista de la relación de que J = sE, que da la posibilidad de acoplar el campo magnético estático con un campo electrostático.

5. LA VELOCIDAD DE LA LUZ:

El objetivo de Maxwell era triple: en primer lugar, modificar la teoría de la inducción electromagnética; en segundo, demostrar que su modelo explicaba la carga estática; y por último, demostrar que las perturbaciones del campo electromagnético se propagan a la velocidad de la luz. Maxwell comenzó la teoría suponiendo que la magnitud del desplazamiento es directamente proporcional a la fuerza (electromotriz) que actúa sobre la pared del remolino

D = � pc²E

La constante c caracteriza la elasticidad de los remolinos, y � pc² es la capacidad inductiva del medio.

Ahora era necesario admitir la posibilidad de un pequeño desplazamiento de las bolas de un dieléctrico. Las bolas eléctricas se pondrán en movimiento en direcciones opuestas, igual que si hubiese conducción. En otras palabras, un cambio de desplazamiento produce, igual que una corriente eléctrica, un campo magnético.

Maxwell expresó esto mismo matemáticamente diciendo que a la corriente de conducción hay que sumarle una corriente de desplazamiento, es decir la tasa de variación del desplazamiento dD/dt. Esta corriente total sería la responsable del campo magnético:

4pj + dD/dt = rot H

Maxwell la utilizó para demostrar que el modelo podía dar cuenta de las fuerzas eléctricas debidas a cuerpos cargados.

Evitó introducir la carga en el modelo, otorgando en cambio un peso fundamental a la corriente y a su relación con el campo magnético. Para estudiar la relación entre la carga y la fuerza eléctrica, comenzó estudiando el desplazamiento originado por la presencia de una carga. Encontró la relación entre carga y corriente de conducción:

- div j + de/dt = 0

combinando ambas, dedujo la relación que existe entre la carga y el desplazamiento que ésta produce:

- e = div D

Maxwell se basó en consideraciones energéticas para encontrar la fuerza que actúa sobre un cuerpo cargado. La energía del campo eléctrico viene dada por el trabajo que realizan las fuerzas electromotrices sobre las bolas eléctricas. El trabajo es el producto de la fuerza electromotriz y el desplazamiento producido.

Las cargas obedecen la ley de Coulomb. Lo que Maxwell dedujo no fue exactamente la ley de Coulomb, sino esta ley corregida para los dieléctricos:

- F = c²(e₁ e₂ /r²)

La constante c está relacionada con la capacidad inductiva específica mediante la expresión

- e = � pc²

Esta deducción de la ley de Coulomb ponía fin a dos de las tareas que Maxwell se había planteado: (1) hallar las ecuaciones del campo que describan los fenómenos electromagnéticos y (2) probar que estas ecuaciones eran consistentes con los experimentos conocidos. Y demostró también que su modelo mecánico era una analogía muy próxima al campo electromagnético. No obstante, Maxwell miraba más lejos; quería desarrollar una teoría matemática que identificara la luz con las vibraciones del campo electromagnético.

5.1. La teoría electromagnética de la luz:

El mayor acierto de Maxwell fue identificar la luz con un fenómeno electromagnético. Uno de los principales problemas que llevaron a Maxwell a construir un modelo fue el de desarrollar una teoría donde la inducción tuviera velocidad finita. Si lograba deducir la velocidad de las ondas en el mecanismo a partir de las propiedades "electromagnéticas", entonces tendría una predicción que sería contrastable independientemente del mecanismo. El objetivo de Maxwell era, pues, la relación entre la velocidad de inducción y las magnitudes electromagnéticas.

Existía ya una teoría general de la elasticidad que fijaba la velocidad de las ondas transversales en un mecanismo sujeto a las leyes de Newton. Según esta teoría, el cuadrado de la velocidad de las ondas transversales es igual al cociente entre la rigidez y la densidad del medio

- v² = r/d

El problema se reducía, por tanto, al conocimiento de la rigidez y densidad del mecanismo en términos de sus propiedades "electromagnéticas". Para resolver el problema, Maxwell sentó unas cuantas hipótesis simplificadoras, más o menos arbitrarias:

-          En primer lugar, supuso que la masa de las bolas eléctricas y su elasticidad eran despreciables. Toda la elasticidad y toda la masa están en los remolinos. La expresión de la elasticidad del mecanismo estaba ya, pues, a mano: Maxwell había demostrado ya que la densidad de los remolinos (d) podía correlacionarse con la permeabilidad magnética del medio (m):

- d = pm.

-          Quedaba luego el problema de hallar la rigidez de los remolinos en términos de magnitudes eléctricas. La cuestión era relacionar la rigidez de los remolinos con la capacidad inductiva específica. El problema se complica por la existencia de dos constantes que caracterizan las fuerzas que se originan en el desplazamiento: la constante de rigidez que determina la resistencia a la torsión y la constante de elasticidad tridimensional, que determina la resistencia a la comprensión o a la dilatación.

Para obtener la relación entre la capacidad inductiva específica y la rigidez, Maxwell supuso primero que la fuerza electromotriz que actúa sobre la materia que constituye el remolino varía con el seno del ángulo cuyo origen es el punto de contacto de la partícula eléctrica con el remolino. Después supuso que la materia podía sufrir una torsión alrededor del centro de la bola, pero no podía desplazarse hacia el centro ni hacia fuera. Esta hipótesis era fundamental, ya que sólo permite que se originen en el mecanismo ondas transversales.

�

Maxwell tuvo que admitir que las constantes de rigidez y de elasticidad tridimensional guardan una proporción fija de seis a cinco. Esta proporción es la que se da en un sólido "perfecto", donde las fuerzas proceden todas ellas de pares de partículas.

Finalmente, pudo establecer la tan deseada relación entre la rigidez y la capacidad inductiva específica utilizando todas estas hipótesis sobre los remolinos. Descubrió que la capacidad inductiva específica es igual a � del inverso de la rigidez:

- e = � pc²

donde pc² es la rigidez. Maxwell había conseguido expresar la velocidad de las ondas transversales del mecanismo en términos de capacidad inductiva específica y la permeabilidad magnética del medio. La densidad del medio estaba relacionada con la permeabilidad magnética, y la rigidez con la capacidad inductiva específica; se sabía que el cuadrado de la velocidad de las ondas transversales era la razón entre ambas. La fórmula exacta es:

- v ²= c²/m