TRABAJO PRACTICO Nº 2 : CINEMATICA del PUNTO MATERIAL

•       Objetivo :

- Estudiar movimientos rectilíneos

•       Material utilizado :

- Esferita

- Regla

- Cronómetro

- Pista

- Soporte

- Canaleta de lanzamiento

•       Procedimiento :

Dispusimos la pista horizontalmente y luego colocamos la lanzadera en uno de sus extremos convenientemente como para lograr que al soltar sobre ella la esferita, ésta se mueva con movimiento prácticamente uniforme.

(Dibujo)

Primera parte :

¿Cómo comprobar si la esferita posee M.R.U. ?

Señalamos un punto A y otro A1 como se indica en la figura anterior. Ubicamos la esferita en el punto A y luego la soltamos.

Nos propusimos observar el movimiento de la esferita sobre la pista ; para ello, medimos los intervalos de tiempo que emplea para alcanzar distintas posiciones a partir de su extremo "B", tomándolo como origen de coordenadas. La primer distancia tomada fue de 80 cm y luego fuimos aumentando de 20 cm en 20 cm..

Utilizando la regla para medir las distancias entre "B" y los distintos extremos variables y midiendo los intervalos de tiempo con el cronómetro obtuvimos los siguientes valores :

CUADRO Nº 1

Nro.	x (cm)	t (s)	tp (s)
1	80 ± 1	1,33 ± 0,2 1,3 ± 0,2 1,27 ± 0,2	1,3 ± 0,2
2	100 ± 1	1,64 ± 0,2 1,7 ± 0,2 1,63 ± 0,2	1,66 ± 0,2
3	120 ± 1	2,12 ± 0,2 2,03 ± 0,2 2,04 ± 0,2	2,06 ± 0,2
4	140 ± 1	2,56 ± 0,2 2,57 ± 0,2 2,66 ± 0,2	2,6 ± 0,2
5	160 ± 1	2,99 ± 0,2 2,95 ± 0,2 2,94 ± 0,2	2,96 ± 0,2

Tomamos 0,2 seg. y 1 cm como incertezas absolutas según indica la guía para el intervalo de tiempo (t) y la distancia (X) respectivamente.

Repetimos la experiencia tres veces para cada valor de X, dejando en libertad la esferita siempre desde el punto "A", y luego obtuvimos el promedio de los valores del intervalo de tiempo correspondiente.

Graficamos X en función de tp y sus respectivas incertezas (los gráficos están al final del trabajo) y encontramos que el gráfico es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Matemáticamente, podemos expresar : tp . m = X

o X . m = Y (donde X e Y son las coordenadas)

La pendiente de la recta representa la velocidad, para calcularla :

Kmax + Kmin = 151 cm / 2,6 s + 138 cm / 2,6 s = 55,6 cm/s

2 2

Kmax - Kmin = 151 cm / 2,6 s - 138 cm / 2,6 s = 2,5 cm/s

2 2

m1 = V1 = ( 55,6 ± 2,5 ) cm/s

V1 = ( 0,556 ± 0,025 ) m/s

Como la velocidad se mantiene constante, podemos decir que es un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.).

 Al graficar v = f(tp) el gráfico es una recta que no pasa por el origen de coordenadas, sino que parte de Y = 55,6 cm/s y se mantiene paralela al eje X.

Podemos expresar : V = X/tp

V = 55,6 cm/

  Y = 55,6 (donde Y es coordenada e indica cm/s)

Repetimos la experiencia anterior, pero en este caso, soltamos la esferita desde el punto A1 de la canaleta de lanzamiento.

Volvimos a tomar 0,2 seg. y 1 cm como incertezas absolutas para el intervalo de tiempo (t) y la distancia (X) respectivamente.

Los valores de distancia (medidos con regla) e intervalos de tiempo (medidos con el cronómetro) fueron los siguientes :

CUADRO Nº 2

Nro.	x (cm)	t (s)	tp (s)
1	80 ± 1	0,57 ± 0,2 0,63 ± 0,2 0,61 ± 0,2	0,60 ± 0,2
2	100 ± 1	0,77 ± 0,2 0,73 ± 0,2 0,77 ± 0,2	0,76 ± 0,2
3	120 ± 1	0,95 ± 0,2 0,99 ± 0,2 0,99 ± 0,2	0,98 ± 0,2
4	140 ± 1	1,09 ± 0,2 1,09 ± 0,2 1,11 ± 0,2	1,10 ± 0,2
5	160 ± 1	1,29± 0,2 1,28 ± 0,2 1,25 ± 0,2	1,27 ± 0,2

Volvimos a graficar X en función de tp y notamos la mismas características, es una recta que pasa por el origen, cuya pendiente representa la velocidad de la esferita.

Nuevamente calculamos la velocidad y su incerteza :

Kmax + Kmin = 90 cm / 0,60 s + 65 cm / 0,60 s = 129,17 cm/s

2 2

Kmax - Kmin = 90 cm / 0,60 s - 65 cm / 0,60 s = 20,83 cm/s

2 2

m2 = V2 = ( 129,17 ± 20,83 ) cm/s

V2 = ( 1,2917 ± 0,2083 ) m/s

Conclusiones :

Podemos concluir que en ambos ejemplos la velocidad se mantiene constante a lo largo del trayecto (desde B hacia puntos variables) y por lo tanto la esferita, además de describir un movimiento rectilíneo, tiene una velocidad uniforme ; es decir, posee M.R.U.

Además, la pendiente de los gráficos de X = f(tp) representa la velocidad de la esferita.

En comparación, cuando soltamos la esferita desde el punto A la velocidad (V1) fue menor que cuando lo hicimos desde el punto A1 (V2) :

 ( 0,556 ± 0,025 ) m/s = V1 < V2 = ( 1,2917 ± 0,2083 ) m/s

(soltándola desde A) m1 < m2 (soltándola desde A1)

Podemos decir que a mayor pendiente de la recta, mayor velocidad.

En este caso, agregamos que la velocidad fue mayor cuando soltamos la esferita desde A1, porque esta a mayor altura que A en la canaleta de lanzamiento.

Segunda parte:

Sacamos la canaleta de lanzamiento y colocamos la pista en posición inclinada respecto del plano horizontal. Sostuvimos la esferita sobre la pista en un punto 0, en el cual x=0 y t=0. Desde este punto deberá comenzar a medirse el tiempo en el mismo instante en que se deja en libertad.

Nos propusimos estudiar el movimiento de esta esferita, para ello medimos los intervalos de tiempo que ella empleó para alcanzar distintas posiciones, a partir de 0.

(Dibujo)

Colocamos la esferita en el punto 0, para estudiar su movimiento sobre la pista. La primera distancia utilizada fue de 80 cm. A partir de allí medimos las cuatro restantes cada 20 cm.

Repetimos las mediciones de los tiempos para recorrer cada distancia 3 veces. El valor representativo del tiempo se calcula efectuando la semisuma del valor máximo y el valor mínimo obtenidos en la medición.

t_p = (t_min + t_max)/2

Se calcula también el cuadrado del tiempo más probable, elevando t_p al cuadrado.

t_p­­^{2 =} t_p . t_p

La incerteza absoluta de t_p² se obtiene mediante la propagación de incertezas. La incerteza relativa de t_p­­² (e t_p­­²) se calcula multiplicando la incerteza relativa de t_p por el exponente (en este caso 2), pues se trata de una potencia.

e t_p­­² = 2. e t_p­­

e t_p­­² = 2. e t_p /­ t_p­

La e t_p² indica la precisión de la medición. Se calcula dividiendo la incerteza absoluta por el valor representativo.

et_p­­² = E t_p /­ t_p­²

Por consiguiente, para obtener el valor de la incerteza absoluta, se debe realizar el producto entre el valor representativo y la incerteza relativa.

E t_p² = e t_p­­² . t_p­²

CUADRO Nº 3

Número	x (cm)	t (s)	tp (s)	tp2 (s2)
1	80±1	2,56 ± 0,2 2,51 ± 0,2 2,52 ± 0,2	2,54 ± 0,2	6,45 ± 1,02
2	100±1	2,82 ± 0,2 2,84 ± 0,2 2,81 ± 0,2	2,83 ± 0,2	8 ± 1,13
3	120±1	3,05 ± 0,2 3,05 ± 0,2 3,09 ± 0,2	3,07 ± 0,2	9,42 ± 1,23
4	140±1	3,39 ± 0,2 3,35 ± 0,2 3,37 ± 0,2	3,37 ± 0,2	11,36 ± 1,35
5	160±1	3,66 ± 0,2 3,66 ± 0,2 3,66 ± 0,2	3,66 ± 0,2	13,4 ± 1,46

A partir del cuadro se realizó la gráfica de x en función de t_p. Debe señalarse que es una parábola. Por lo tanto la esferita describe un movimiento rectilíneo uniformemente variado (M.R.U.V.).

Además se graficó x en función de t_p². Debe destacarse que tiene forma lineal. La recta pasa por el origen.

Por lo tanto, es una relación directamente proporcional entre la distancia a 0 y t_p².

K = X / t_p²

Vale hacer notar que K es la pendiente (m) de la recta del gráfico de X en función de t_p².

Teniendo en cuenta que por definición X = X₀+V₀.t+1/2.a.t², se puede deducir que, debido a que en el comienzo la esferita parte desde 0, la distancia inicial es igual a 0 y el módulo de la velocidad inicial es 0, ya que parte de reposo, la ecuación horaria es:

X = 1/2 . a . t_p²

X = K . t_p²

De esto se obtiene que la constante equivale a un medio de la aceleración.

X = X

1/2 . a . t_p² = m . t_p²

1/2 . a = m

a = 2 . m

Esto nos lleva a la conclusión de que la aceleración se puede sacar del gráfico anterior multiplicando la pendiente por 2.

Por definición, V = V₀ + a.(t-t₀). Como al comienzo en módulo de la velocidad inicial es 0, ya que parte de reposo, entonces podemos concluir que:

V = a . t

El módulo de la aceleración, y su respectiva incerteza pueden calcularse a partir del método de pendientes.

• Se representa x en función de t_p².

• Se verifica que los puntos obtenidos están alineados.

P₁ = 161 cm / 11,94 s² P₂ = 159 cm / 14,86 s² Se obtienen del gráfico.

Entonces: K = (P₁ + P₂) / 2 = 24,2 cm / 2 = 12,1 cm

s² s²

Por lo tanto, la función que relaciona la X con t_p² es:

X = 12,1 cm . t_p²

s²

Incertezas: (P₁ - P₂) / 2 = (161cm / 11,94 s² - 159 cm / 14,86 s² ) /2 = 1,39 cm

s²

Por K = 1/2.a entonces la incerteza absoluta de p es igual a la incerteza absoluta de a.

A1 = 24,2 cm / s² ± 1,39 cm / s²

Colocamos la pista en una posición inclinada con un ángulo diferente al de la experiencia anterior y marcamos el punto 0 donde se dejará en libertad a la esferita.

(Dibujo)

Teniendo en cuenta las incertezas cuyas fórmulas ya calculamos para la experiencia anterior, confeccionamos el siguiente gráfico:

CUADRO Nº 4

Número	x (cm)	t (s)	tp (s)	tp2 (s2)
1	80±1	1,20 ± 0,2 1,24 ± 0,2 1,24 ± 0,2	1,22 ± 0,2	1,49 ± 0,49
2	100±1	1,34 ± 0,2 1,38 ± 0,2 1,38 ± 0,2	1,36 ± 0,2	1,85 ± 0,54
3	120±1	1,50 ± 0,2 1,54 ± 0,2 1,59 ± 0,2	1,55 ± 0,2	2,4 ± 0,62
4	140±1	1,70 ± 0,2 1,70 ± 0,2 1,66 ± 0,2	1,68 ± 0,2	2,82 ± 0,67
5	160±1	1,75 ± 0,2 1,77 ± 0,2 1,77 ± 0,2	1,76 ± 0,2	3,1 ± 0,7

El módulo de la aceleración y su respectiva incerteza pueden calcularse a partir del método de pendientes:

• Se representa X en función de t_p².

• Se verifica que los puntos obtenidos sean alineados.

P₁ = 141 cm / 2,15 s² P₂ = 139 cm / 3,49 s² Se obtienen del gráfico.

Entonces: K = (P₁ + P₂) / 2 = 105,41 cm / 2 = 52

s²

Por lo tanto, la función que relaciona la X con t_p² es:

X = 52 cm . t_p²

s²

Incertezas: ( P₁ - P₂ ) / 2 = (141cm / 2,15 s² - 139cm / 3,49 s² ) / 2 = 12 cm

s²

Por K = 1/2.a entonces la incerteza absoluta de p es igual a la incerteza absoluta de a .

A2 = 104 cm / s² ± 12 cm / s²

Conclusiones:

Se realizó la gráfica de x en función de t_p (valor representativo del tiempo). Debe señalarse que tiene forma parabólica.

A partir de los cuadros, se realizaron las gráficas de x en función de t_p² (valor representativo del cuadrado del tiempo). Debe señalarse que tiene forma lineal.

En conclusión se trata, en los gráficos de x en función de t_p², de una función de proporcionalidad directa, que relaciona las distancias al punto 0 - origen de coordenadas - con el recuadro del tiempo empleado en recorrerlas. Por esto en ambos gráficos pueden trazarse las pendientes. Si se comparan los módulos de las constantes obtenidas a partir de ellas, puede establecerse cual de las dos tiene mayor valor absoluto: