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Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo
, en donde
Es decir
Por ejemplo
en
donde todos los valen 1, o
y
todos sus .
Es
interesante saber cuáles son los valores de x � R para los que las respectivas series funcionales se
convierten en series numéricas convergentes. Por ejemplo si en la primera de
las dos series anteriores hacemos x=0, es 1 + 0 + 0 +....+ 0
+... y esta serie es
obviamente convergente. En cambio si x = 1, se convierte en 1 + 1 +... +... que
es divergente.
Pero para x = 1/2 es
que
es una serie geométrica de razón y su suma
con lo que la serie es convergente. Más aún,
es una serie
geometrica de razón x y será
convergente si
, es decir si
,
siendo .
Si se cumple esta condición:
Entonces
bajo ciertas condiciones, una serie de potencias describe exactamentea a una
función. En este caso a , pero sólo en el intervalo (-1;1).
Gráficamente
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sólo definida en la
parte marcada gruesa por la serie
Si en el segundo ejemplo tomamos x =1, se convierte en
Intervalo de convergencia: Se llama intervalo de convergencia I al conjunto de valores reales de x que convierte a la serie de potencias en una serie numérica convergente.
Radio de convergencia: Lamamos así a la menor de las cotas superiores del conjunto I.
En el caso de se observa que el
intervalo de convergencia es I = (-1;1) y el radio de convergencia es R = 1.
Se observa que el intervalo I está centrado en el origen. Siempre es
asi para el I de .
Cálculo del radio e intervalo de convergiencia:
Sea la serie de potencias . Formemos la serie de valores absolutos, es decir
que es
una serie de términos positivos que si converge arrastrará la convergencia de
que no necesariamente
es de términos positivos.
La convergencia de la estudiaremos con
el criterio de D'Alembert, o sea si
será convergente.
Desarrollando
y entonces la serie converge para
ó
Llamamos R al y además
.
Para todos los valores de
an=1,
, en cambio para
es
y el I = R
Series de McLaurin y Taylor:
Sea la fórmula de McLaurin
siendo con 0 < z < x.
Es decir .
Llamaremos serie de MacLaurin asociada a una función f(x) a la expresión
Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida con la fórmula de McLaurin y para ello deberá cumplirse que:
1)Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y
2).
Ejemplo: Sea f(x) = ex
Veremos si.
que
.
Ejercicio:
Desarrollar f(x) = sen x en serie de potencias.
f(x) = senx ; f(0)=0
f'(x) = cosx ; f '(0)=1
f"(x)= -senx; f"(0)=0
f"'(x)= -cosx ; f"'(0)=-1
fIV(x)= senx ; fIV(0)=0
fV(x)= cosx ; fV(0) =1 y generalizando
pero en todo caso siempre son en valor absoluto
menores que 1, y finalmente
con lo que
y finalmente
Estudiemos el intervalo de convergencia
y por lo tanto I = R
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