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Jueves 02 de Enero de 2025 |
 
 

Sistemas de numeración.

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EL SISTEMA DECIMAL, TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN, EL SISTEMA BINARIO, OPERACIONES , EL SISTEMA OCTAL, EL SISTEMA HEXADECIMAL, REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS, DESBORDAMIENTO, PRECISION FINITA DE LA INFORMACIÓN, Tabla de conversión, Práctica.

Agregado: 29 de AGOSTO de 2000 (Por ) | Palabras: 5467 | Votar |
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Categoría: Apuntes y Monografías > Matemáticas >
Material educativo de Alipso relacionado con Sistemas numeración
  • Sistemas Operativos:
  • Señales y sistemas.: CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES, ENERGÍA Y POTENCIA DE UNA SEÑAL, PROPIEDADES DE LAS SEÑALES, TRANSFORMACIONES EN LA VARIABLE INDEPENDIENTE, TIEMPO DISCRETO, SISTEMAS, CONEXIÓN DE LOS SISTEMAS, PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS.
  • Sistemas de television por cable.: ...

    • Enlaces externos relacionados con Sistemas numeración

    SISTEMAS DE NUMERACIóN

    El primer sistema de numeración del cual se tiene conocimiento fue el sistema egipcio. Posteriores a él son el romano, el maya, el chino, el indio, el árabe original hasta llegar al decimal actual.

    1.1         EL SISTEMA DECIMAL

    El sistema decimal es u sistema posicional, ya que el significado de un símbolo depende fundamentalmente de su posición relativa al símbolo coma (,), denominado coma decimal, que en caso de ausencia se supone colocada implícitamente a la derecha.

    Utiliza como base el 10, que corresponde al número de símbolos que comprenden para la representación de cantidades; estos símbolos (también denominados dígitos) son:

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9[1]

    Una determinada cifra, que se denominará número decimal, se puede expresar de la siguiente forma:

    n

    No = S (dígito)i * (base)i

    i= -d

    Donde:

    •       base = 10

    •       i = posición respecto a la coma

    •       d = n.o de dígitos a la derecha de la coma,

    •       n = n.o de dígitos a la derecha de la coma - 1,

    •       dígito = cada uno de los que componen el número

    La fórmula responde al Teorema Fundamental de la Numeración que se verá en el siguiente tema.

    El sistema decimal es un sistema posicional como ya hemos dicho, ya que el mismo dígito puede variar su valor de acuerdo a su posición.

    Ej.:

    1000 mil

    100 cien

    10 diez

    1 uno

    0,1 un décimo

    0,01 un centésimo

    1.2         TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIóN

    El teorema fundamental de la numeración dice:

    "El valor en el sistema decimal de una cantidad expresada en otro sistema cualquiera de numeración, viene dado por la fórmula:

    ... + X4*B4 + X3*B3 + X2*B2 + X1*B1 + X0*B0 + X-1*B-1 + X-2*B-2 + X-3*B-3 + ..."

    donde X es el dígito y B la base.

    Ejemplo:

    Supongamos la cantidad 3221,034 esta expresada en base 4 (ver subíndice al final de la cantidad), dicha base utiliza para representar cantidades los dígitos 0, 1, 2 y 3. ¿Cuál será el valor correspondiente en el sistema decimal?

    3 * 43 + 2 * 42 + 2 * 41 + 1 * 40 + 0 * 4-1 + 3 * 4-2 =

    3 * 64 + 2 * 16 + 2 * 4 + 1 * 1 + 0 * 0,25 + 3 * 0,0645 = 233,1875

    El teorema aplicado a la inversa nos sirve para obtener el valor en una base cualquiera de un valor decimal, por medio de divisiones sucesivas por dicha base, como se verá más adelante.

    1.3         EL SISTEMA BINARIO

    Por razones técnicas, la mayoría de los circuitos electrónicos que conforman un ordenador solo puede detectar la presencia o ausencia de tensión en el circuito. Si a la presencia de tensión en un punto del circuito le asignamos el valor 1 y a la ausencia de la misma el valor 0 (a esta lógica se la denomina lógica positiva). Caso contrario la denominaremos lógica negativa.

    Por las razones antes vistas, ya que el hardware por el momento solo reconoce estos dos estados fue necesario crear un sistema de numeración basado en estos dos valores (0, 1), al cual se lo denominó Binario, y cuya base por lo tanto es 2 (números de dígitos del sistema).

    En computación cada dígito de un número representado en este sistema se denomina bit (contracción de binary digit).

    Como múltiplos del bit hallamos:

    •                      8 bits Byte (palabra)[2] B (10110110)

    •         1024 bytes 1 kilobyte KB

    •         1024 KB 1 Megabyte MB

    •         1024 MB 1 Gigabyte GB

    •         1024 GB 1 Terabyte TB

    Dos cosas a tener en cuenta:

    a)      La B de byte es siempre mayúscula, ya que Kb significa Kbit unidad utilizada en las memorias.

    b)      En el sistema de numeración decimal los múltiplos son potencias 10 (1K 1000 unidades y 1M  1000 K), en el binario es 210  = 1024.

    1.4         OPERACIONES CON BINARIOS

    Tanto la suma como la multiplicación son semejantes a la decimal con la diferencia que se maneja solo dos dígitos, sus tablas de operación se pueden observar en los siguientes esquemas

    Suma Multiplicación

    +

    0

    1

    *

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    10

    1

    0

    1

    Ejemplos

    1

    1

    1

    1

    1

    Acarreo

    1

    1

    0

    0

    1

    25

    +

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    + 43

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    68

    1

    1

    Acarreo

    1

    1

    0.

    1

    0

    6,50

    +

    1

    1

    0

    1.

    0

    1

    + 13.25

    1

    0

    0

    1

    1.

    1

    1

    19.75

    1

    1

    0

    0

    1

    25

    *

    1

    0

    0

    1

    1

    * 19

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    475

    La resta como la división son procesos que la unidad de cálculo del ordenador no realiza por lo tanto no lo vamos a ver en forma directa.

    1.5         EL SISTEMA OCTAL

    Es un sistema cuya base es el número 8, es decir, utiliza 8 símbolos para la representación de un valor cualquiera. Estos símbolos son:

    0 1 2 3 4 5 6 7

    Este es un sistema también posicional, de aritmética muy similar al decimal. Su utilización comenzó como sistema de salida de las computadoras ya que para representar un valor la cantidad de símbolos que necesita es menor que el binario y la conversión entre ambos sistemas es muy sencilla de implementar.

    1.6         EL SISTEMA HEXADECIMAL

    Es un sistema cuya base es el número 16, es decir, utiliza 16 símbolos para la representación de un valor cualquiera. Estos símbolos son:

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

    Este es otro sistema posicional, de característica similar al octal. Su uso fue adoptado por idénticas razones que el octal.

    1.7         CONVERSIóN ENTRE LOS DISTINTOS SISTEMAS

    Se denomina así la transformación de un valor en un sistema al equivalente en otro sistema.

    1.7.1       Conversión decimal a binario

    Para convertir un número decimal entero a binario, este debe ser dividido por dos y repetir el proceso con sus cocientes hasta que el cociente tome el valor 1. La unión de todos restos escritos en orden inverso encabezados por el último cociente, nos dará el valor expresado en binario.

    Ej. : Convertir el número 174 a binario

    		1 7 4

    		 2

    		0

    		 8 7

    		 2

    		1

    		 43

    		 2

    		1

    		 21

    		 2

    		1

    		 10

    		 2

    		0

    		 5

    		 2

    		1

    		 2

    		 2

    		0

    		 1

    17410 = 101011102

    Para convertir una fracción decimal a binario, esta fracción debe ser multiplicada por dos y tomamos la parte entera del resultado, repetimos el proceso con la parte fraccionaria del resultado anterior, dándonos una nueva parte entera, y así sucesivamente hasta que la parte fraccionaria se haga 0 (cero) o que tengamos suficientes decimales que nos permita estar debajo de un determinado error.

    Ej. : Convertir el número 0,90625 a fracción binaria

    0,90625 * 2 = 1,8125

    0,8125 * 2 = 1,625

    0,625 * 2 = 1,25

    0,25 * 2 = 0,5

    0,5 * 2 = 1,

    0,9062510 = 0,111012

    Ej. : Convertir el número 0,64037 a fracción binaria

    0,64037 * 2 = 1,28074

    0,28074 * 2 = 0,56148

    0,56148 * 2 = 1,12296

    0,12296 * 2 = 0,24592

    0,24592 * 2 = 0,49184

    0,49184 * 2 = 0,98368

    0,98368 * 2 = 1,96736

    0,96736 * 2 = 1,93472

    0,93472 * 2 = 1,86944

    0,86944 * 2 = 1,73888

    0, 6403710 = 0,10100011112

    El error en el valor es e 2-10 e 0,001. Esto es así porque hemos obtenido 10 unidades binarias, de querer mejorar la precisión deberemos obtener un mayor número de fracciones binarias.

    Pase a binario las siguientes fracciones decimales con e 2-10 : 0,63965 y 0,064062.

    Si se desea convertir un número que tiene parte entera y decimal a binario, se deberá operar cada parte por separado como ya se ha visto, y luego obtener la suma de los resultados.

    Por ejemplo:

    174,9062510 = 10101110,111012

    1.7.2       Conversión binario a decimal

    Para realizar esta conversión se utiliza como base el teorema fundamental de la numeración.

    El método práctico consiste en multiplicar cada uno de los términos por potencias crecientes de 2 a partir de la coma decimal y hacia la izquierda, y realizar la suma de las operaciones.


     Por ejemplo:

    Pasar a decimal el binario 101011102

    1 0 1 0 1 1 1 0

    		0 * 20 =

    		 0

    		1 * 21 =

    		 2

    		1 * 22 =

    		 4

    		1 * 23 =

    		 8

    		0 * 24 =

    		 0

    		1 * 25 =

    		 32

    		0 * 26 =

    		 0

    		1 * 27 =

    		 128

    		174

    101011102 = 17410

    En los casos de números que posean parte entera y decimal se recomienda el uso del teorema fundamental de la numeración.

    Ej.: Convertir 1101,0112 a base 10

    Para pasar a base 10 deberemos hacer:

    1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 0 * 2-1 + 1 * 2-2 + 1 * 2-3 =

    1 * 8 + 1 * 4 + 0 + 1 * 1 + 0 + 1 * 0,25 + 1 * 0,125 =

    8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 + 0,125 = 13,375

    1101,0112 = 13,37510

    1.7.3       Conversión octal a binario

    Al ser la base del octal (8) potencia de la base binaria (23), la transformación de una base a la otra se hace en forma directa dígito a dígito. Cada dígito octal será reemplazado por 3 dígitos binarios (3 por ser la potencia que relaciona ambas bases), según la tabla que tenemos a continuación.

    Octal

    Binario

    0

    000

    1

    001

    2

    010

    3

    011

    4

    100

    5

    101

    6

    110

    7

    111

    Ej.:

    Convertir a binario el número 276,5348

    2

    7

    6,

    5

    3

    4

    010

    111

    110,

    101

    011

    100

    276,5348 = 10111110,10101112

    Como se puede ver los ceros al comienzo se han quitado, igual que los ceros que se hallan a la derecha de la coma (ya que no tienen ningún sentido).

    1.7.4       Conversión binario a octal

    Esta conversión es similar a la anterior, pero cada tres símbolos binarios corresponde uno octal. Para realizar correctamente esta conversión el número de dígitos a la derecha de la coma decimal debe ser múltiplo de 3 si no lo fuera deberá agregarse al final del número tantos ceros como sea necesario. Idéntico caso será a la izquierda de la coma, en dicho caso los ceros se agregan al principio del número.

    Ej.

    Convertir el binario 10101011,0011 a octal.

    010

    101

    011,

    001

    100

    2

    5

    3,

    1

    4

    0 cero agregado al número para permitir la correcta conversión.

    10101011,00112 = 253,148

    1.7.5       Conversión hexadecimal a binario

    Por idénticas razones que el caso anterior (16 = 24), la transformación de una base a la otra se hace en forma directa dígito a dígito. Cada dígito hexadecimal será reemplazado por 4 dígitos binarios (4 por ser la potencia que relaciona ambas bases), según la tabla que tenemos a continuación.

    Hexadecimal

    Binario

    Hexadecimal

    Binario

    0

    0000

    8

    1000

    1

    0001

    9

    1001

    2

    0010

    A

    1010

    3

    0011

    B

    1011

    4

    0100

    C

    1100

    5

    0101

    D

    1101

    6

    0110

    E

    1110

    7

    0111

    F

    1111

    Ej.:

    Convertir a binario el número 5A8,39C16

    5

    A

    8,

    3

    9

    C

    0101

    1010

    1000,

    0011

    1001

    1100

    5A8,39C16 = 10110101000,00111001112

    Como se puede ver otra vez los ceros al comienzo se han quitado, igual que los ceros que se hallan a la derecha de la coma (ya que no tienen ningún sentido).

    1.7.6       Conversión binario a hexadecimal

    Esta conversión es similar a la conversión a octal, pero en lugar de tres, serán cuatro símbolos binarios los que corresponde a un hexadecimal. Para realizar correctamente esta conversión el número de dígitos a la derecha de la coma decimal debe ser múltiplo de 4 si no lo fuera deberá agregarse al final del número tantos ceros como sea necesario. Idéntico caso será a la izquierda de la coma, en dicho caso los ceros se agregan al principio del número.

    Ej.

    Convertir el binario 1010101011,00111 a hexadecimal.

    0010

    1010

    1011,

    0011

    1000

    2

    A

    B,

    3

    8

    0 cero agregado al número para permitir la correcta conversión.

    1010101011,00111 2 = 2AB,38816

    1.7.7       Conversión decimal a octal o hexadecimal

    Para cualquiera de estos dos casos se hará en forma similar a la explicada para convertir de decimal a binario 1.7.1. Pero se deberá tener en cuenta que la base ya no es 2, sino 8 o 16 según corresponda. (Dividir por 8 o 16)

    1.7.8       Conversión octal o hexadecimal a decimal

    Para cualquiera de estos dos casos se deberá usar el teorema fundamental de la numeración, teniendo en cuenta base que corresponda ( 8 o 16 según el caso).

    1.7.9       Conversión octal a hexadecimal o hexadecimal a octal.

    Estas conversiones no son posibles en una forma directa. Para realizar cualquiera de ellas se deberá usar el pasaje a otra base como paso intermedio.

    Por ejemplo octal decimal hexadecimal

    octal binario hexadecimal

    Se recomienda como metodología de trabajo esta última, porque al ser las operaciones de conversión más sencillas disminuye la probabilidad de error. Además no existe la posibilidad de errores de redondeo.

    1.8         REPRESENTACIóN DE NúMEROS ENTEROS

    Existen 4 formas de representar un número entero en un ordenador (todos en sistema binario), ellas son

    •  Módulo y signo

    •  Complemento a 1 (C-1)

    •  Complemento a 2 (C-2)

    •  Exceso a 2 elevado a la N -1

    En todos los casos se considera que tenemos un número limitado de dígitos para cada elemento numérico. El número de dígitos disponibles lo representa N (8, 16, 32, 64 o sea 1, 2, 3, 4... Bytes).

    1.8.1       Módulo y signo.

    En este método se utiliza el primer bit a la izquierda como signo, 0 si es positivo y uno si es negativo. Los restantes (7, 15, etc.), representan el módulo

    Por ejemplo

    Signo Mantisa

    19 se representa en 8 bits como 0 0010011

    -19 1 0010011

    19 se representa en 16 bits como 0 000000000010011

    -19 1 000000000010011

    El conjunto de valores que se puede representar en un método determinado se conoce como rango de la representación. Para módulo y signo el rango de representación para N dígitos es:

    - 2N-1 +1 x 2N-1 -1

    Para 1 Byte (8 bits) es

    -127 x 127

    Para 2 Byte (16 bits) es

    -32767 x 32767

    Para 4 Byte (32 bits) es

    -2147483647 x 2147483647

    Este método tiene la ventaja de poseer un rango simétrico, pero la desventaja de poseer dos representaciones para el número 0

    1.8.2       Complemento a 1 (C-1).

    Para representar un número positivo es igual al método de MS. Pero en el caso de los negativos, se obtiene complementando al positivo (cambiando 1 por 0 y viceversa)

    Por ejemplo

    Signo Mantisa

    19 se representa en 8 bits como 0 0010011

    -19 1 1101100

    19 se representa en 16 bits como 0 000000000010011

    -19 1 111111111101100

    Para complemento a 1 el rango de representación para N dígitos es:

    - 2N-1 +1 x 2N-1 -1

    Para 1 Byte (8 bits) es

    -127 x 127

    Para 2 Byte (16 bits) es

    -32767 x 32767

    Para 4 Byte (32 bits) es

    -2147483647 x 2147483647

    Este método presenta iguales ventajas y desventajas que el anterior.

    1.8.3       Complemento a 2 (C-2)

    Este método es similar al anterior, la representación de los números positivos es igual a la anterior, pero los negativos se obtiene en dos pasos:

    •  Se complementa a 1

    •  Al resultado se le suma 1

    Por ejemplo

    19 se representa en 8 bits como 0 0010011

    -19 1 1101100 C-1

    + 1

    -19 1 1101101 C-2

    Para complemento a 2 el rango de representación para N dígitos es:

    - 2N-1 x 2N-1 -1

    Para 1 Byte (8 bits) es

    -128 x 127

    Para 2 Byte (16 bits) es

    -32768 x 32767

    Para 4 Byte (32 bits) es

    -2147483648 x 2147483647

    Presenta la siguientes ventajas. Tiene una única representación para 0, la segunda es que en lugar de hacer A - B, puedo hacer A + BC-2. La unidad aritmético lógica del microprocesador solo suma, no resta.

    1.8.4       Exceso a 2 elevado a la N -1

    En este método no hay bit de signo, todos los bits se utilizan para representar el valor del número más el exceso, que para N bits viene dado por 2N-1, que para una representación de 8 bits es 128.

    Para obtener un número en un exceso dado, se realiza la suma algebraica del exceso más el número. Solo se pueden representar valores en módulo menores o iguales al exceso.

    Ej.

    Exceso 128 10000000

    19 + 00010011

    19 en exceso 128 10010011

    Por ejemplo

    19 se representa en 8 bits como 1 0010011

    -19 0 1101101

    En este método el 0 tiene única representación, el rango de representación es asimétrico.

    Para complemento a 2 el rango de representación para N dígitos es:

    - 2N-1 x 2N-1 -1

    Para 1 Byte (8 bits) es

    -128 x 127

    Para 2 Byte (16 bits) es

    -32768 x 32767

    Para 4 Byte (32 bits) es

    -2147483648 x 2147483647

    La representación en exceso para un número cualquiera es igual a la representación en complemento a dos pero el valor del primer bit de la izquierda esta invertido.

    1.9         DESBORDAMIENTO (OVERFLOW)

    Este hecho se puede producir cuando se suman dos números en un método de representación y el resultado no puede ser representado por el método, dándonos un resultado erróneo. Para el ejemplo usaremos la notación de MS

    Ej.

    52 0 0 1 1 0 1 0 0 52

    + 97 + 0 1 1 0 0 0 0 1 97

    149 1 0 0 1 0 1 0 1 -21

    1.10     PRECISION FINITA DE LA INFORMACIóN

    Muchos estudiantes consideran que el ordenador puede trabajar con números con cantidades de cifras infinitamente grande. Este preconcepto es uno de los más erróneos que se puede detectar en el alumno.

    Todo ordenador cuenta con un número finito de Bytes para poder almacenar una cifra. Este número puede ser de 1, 2, 4, 6, 8, 10 Bytes, pero nunca infinito. Por lo tanto solo se podrá ingresa, procesar, almacenar y extraer un rango de valores. Por ejemplo para números enteros se utiliza como máximo 4 Bytes (32 bits), siendo el rango de representación entre -247483648... 247483647.

    1.10.1  Coma Flotante

    Este método nace de la necesidad de representar números reales o enteros con un rango mayor que el dado por los otros métodos.

    En su representación se utiliza la representación matemática

    NO = mantisa * base exponente

    Por ejemplo

    79436.54 = 0,7943654 * 105

    A este proceso se lo denomina normalización.

    Para estos números se utilizan explicaremos dos formas de representación simple y doble precisión, pero existen otros formatos como real, extended, o comp.

    Para simple precisión se utiliza 32 bits (4 Bytes), en el segundo caso 64 bits (8 Bytes).

    (Todos los elementos en computación se comienzan a numerar por 0)

    El esquema en ambos casos es como se ve abajo

    Simple Precisión

    Doble Precisión

    C. de bits

    B. Inicial

    B. Final

    C. de bits

    B. Inicial

    B. Final

    Signo

    1

    31

    1

    63

    Exponente

    8

    23

    30

    11

    52

    62

    Mantisa

    23

    0

    22

    52

    0

    51


    Ejemplos de Pasajes de Decimal a Flotante

    57 a Flotante

    1) Paso 57 a Binario

    57 111001

    2) Normalizo el binario

    111001 0,111001 * 26

    3) Paso el exponente a binario

    6 110

    4) Si trabajo en Simple Precisión (SP) lo expreso como excedente a 10000000 (por los 8 bits), si es en Doble Precisión como excedente a 10000000000 (por los 11 bits). EL exponente nos queda así.

    SP 10000110

    DP 10000000110

    5) Como el número es positivo el bit de signo es 0

    El número queda estructurado de la siguiente manera

    Signo

    Exponente

    Mantisa

    SP

    0

    10000110

    111001

    Debería agregar 0 hasta completar los 24 bits

    El número en cuestión nos queda

    0100 0011 0111 0010 0000 0000

    7) Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda

    437216

    En el caso de - 56

    8) Como el número es negativo el bit de signo es 1

    El número queda estructurado de la siguiente manera

    Signo

    Exponente

    Mantisa

    SP

    1

    10000110

    111001

    Debería agregar 0 hasta completar los 24 bits

    El número en cuestión nos queda

    1100 0011 0111 0010 0000 0000

    9) Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda

    C37216

    Ejemplo de exponente negativo

    El número 0, 13671875 repito los pasos anteriorres.

    Paso a binario

    0,13671875 0,00100011

    Normalizo

    0,001000112 0,1000112 *2-2

    Paso el modulo de la potencia a Binario

    2 102

    Si trabajo en Simple Precisión (SP) lo expreso como excedente a 10000000 EL exponente nos queda así.

    SP 01111110

    Como el número es positivo el bit de signo es 0

    El número queda estructurado de la siguiente manera

    Signo

    Exponente

    Mantisa

    SP

    0

    01111110

    100011

    Debería agregar 0 hasta completar los 24 bits

    El número en cuestión nos queda

    0011 1111 0100 0110

    (no se completó con ceros porque su representación en Hexadecimal son 0 que no afectan el número final)

    Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda

    3F4616

    Si el número fuera negativo el bit de signo es 1

    El número queda estructurado de la siguiente manera

    Signo

    Exponente

    Mantisa

    SP

    1

    01111110

    100011

    Debería agrega 0 hasta completar los 24 bits

    El número en cuestión nos queda

    1011 1111 0100 0110

    Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda

    BF4616

    Si el número (-0,13671875) quisiéramos expresarlo en flotante de 64 bits, el único cambio que tendríamos sería el exponente que ya no tiene 8 bits sino 11 bits quedándonos.

    El número queda estructurado de la siguiente manera

    Signo

    Exponente

    Mantisa

    SP

    1

    01111111110

    100011

    El número en cuestión nos queda

    1011 1111 1110 1000 1100

    Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda

    BFE8C16

    Como se puede ver el mismo número según se represente en 32 o en 64 bits

    32 bits

    64 bits

    -0,13671875

    BF460000

    BFE8C00000000000

    Los ceros a la izquierda no son representativos, pueden o no escribirse.

    Este método de representación tiene sus rangos de representación los cuales no incluyen el número 0 (cero). Se puede representar números muy próximos a 0 pero no incluye este número.

    El módulo mayor que se puede expresar en doble precisión es 1,710 * 10308, con una precisión de 15 a 16 cifras(ver transformación de fracciones decimales a binarios). El número más próximo a cero será 1 * 10-309. El módulo mayor que se puede expresar en punto flotante (extended) es 1,10 * 104932.

    1.11     REPRESENTACIóN INTERNA DE LA INFORMACIóN: Codificación alfanumérica

    Cada vez que presionamos una tecla cualquiera en nuestra computadora, esta convierte el carácter presionado en un conjunto bits. Para esta transformación se utilizaron y se utilizan distintos códigos.

    El primero fue un código de 6 bits denominado FIELDATA. Es código fue reemplazado por el ASCII (American Standard Code for Information Interchange) que era un código de 7 bits (tenía 128 caracteres posibles), luego aparece el EBCDIC que fue el primer código de 8 bits por último aparece para el ambiente de PC el ASCII extendido que también es de 8 bits (256 caracteres).


    Tabla de conversión

    Decimal

    Binario

    Octal

    Hexadecimal

    0

    0000

    00

    0

    1

    0001

    01

    1

    2

    0010

    02

    2

    3

    0011

    03

    3

    4

    0100

    04

    4

    5

    0101

    05

    5

    6

    0110

    06

    6

    7

    0111

    07

    7

    8

    1000

    10

    8

    9

    1001

    11

    9

    10

    1010

    12

    A

    11

    1011

    13

    B

    12

    1100

    14

    C

    13

    1101

    15

    D

    14

    1110

    16

    E

    15

    1111

    17

    F

    16

    10000

    20

    10

    17

    10001

    21

    11

    18

    10010

    22

    12

    19

    10011

    23

    13

    20

    10100

    24

    14

    21

    10101

    25

    15

    22

    10110

    26

    16

    23

    10111

    27

    17

    24

    11000

    30

    18

    25

    11001

    31

    19

    26

    11010

    32

    1A

    27

    11011

    33

    1B

    28

    11100

    34

    1C

    29

    11101

    35

    1D

    30

    11110

    36

    1E

    31

    11111

    37

    1F

    32

    100000

    40

    20


    SISTEMAS DE NUMERACIóN

    Práctica

    1 - Pasar a base 10 los siguientes números, de las bases indicadas:

    11012

    0,101 2

    101,11 2

    1,01112

    753 8

    0,63 8

    17,134 8

    3A 16

    0,FF 16

    A5,3B 16

    2 - Pasar los siguientes números de base 10 a la base indicada:

    39 2

    0,525 2

    23,945 2

    123 8

    3,1 8

    0,14 8

    1068 16

    61,6 16

    3 Pasar el siguiente decimal a la base indicada con un error menor o igual al indicado

    		 Número

    		 Base

    		 Error

    		0,267

    		 2

    		 0,001

    		52,38

    		 2

    		 0,0001

    		129,64

    		 2

    		 0,1

    		163,97

    		 8

    		 0,0001

    		954,62

    		 16

    		 0,0001

    4 - Pasar a las bases indicadas usando propiedad de base de potencia de otra base:

    32 8

    2

    F1 16

    8

    F1 16

    2

    73 8

    16

    1010 2

    16

    10,10 2

    8

    5 - Realizar las siguientes sumas:

    1010 2

    1001 2

    1110 2

    +

    +

    +

    0101 2

    0110 2

    1010 2

    7354 8

    F1E5 16

    3231 4

    +

    +

    +

    1123 8

    ABC116

    2123 4

    6 - Realizar las siguientes restas:

    F91F 16

    0334 8

    1060 8

    -

    -

    -

    0101 16

    0137 8

    1776 8

    7 - Realizar las siguientes operaciones por Complemento a la Base

    1 0 0 1 1 1 0 1 2

    0 1 1 1 0 1 0 1 2

    0 0 1 0 0 0 1 1 2

    -

    -

    -

    0 0 1 1 0 0 1 1 2

    0 0 0 1 1 1 1 1 2

    0 0 0 1 1 0 0 1 2

    8 - Realizar las siguientes restas en base 2. Los números tienen signo.

    01000

    11001

    00110

    -

    -

    -

    00101

    00111

    11000

    9 - Realizar los siguientes productos.

    0018 16

    047 8

    0018 18

    x

    x

    x

    100 16

    010 8

    010 18

    10 - Escribir con notación exceso 10000000 2

    1010 2

    - F1 16

    3014 8

    -1100 2

    - 513 8

    - 37 16

    11 - Escribir como complemento a Dos (en 16 bits):

    35 10

    - 47 10

    F1 16

    - 16 16

    12 - Escribir como complemento a Dos (en 32 bits):

    - 93 10

    - FF 16

    - 10 10

    - 31 10

    - F3 16

    - 16 16

    13 - Pasar a base 10 los números (16 bits complemento a dos):

    1) 1000000000101000

    2) 1110100000010101

    3) 1001111011010111

    4) 1000000000010101

    14 - Pasar a base 10 los siguientes números expresados como punto fijo sin signo (16 bits)

    1000000000101000

    0110100000010101

    1001111011010111

    0000000000010101

    15 - Escribir con notación exceso 10000000 2

    1010 2

    - F1 16

    3014 5

    33 4

    - 513 6

    - 37 16

    16 - Escribir en base 2 y operar por complemento a la base

    5349 10

    F1F0 16

    -3511 10

    -

    +

    -

    317F 16

    -34312 10

    39F1 16


    17 - Escribir como complemento a Dos (en 16 bits):

    35 10

    - 47 10

    F1 16

    - 16 16

    18 - Escribir como complemento a Dos (en 32 bits):

    - 93 10

    - FF 16

    - 10 10

    - 31 10

    - F3 16

    - 16 16

    19 - Expresar en base 10 los siguientes números dados en formato de Punto Flotante

    35A1F

    93900D

    ECF

    3ED

    20 - Pasar a base 10 los números (16 bits complemento a dos):

    1) 1000000000101000

    2) 0110100000010101

    3) 1001111011010111

    4) 0000000000010101

    Realizar 1) + 2) y 1) - 4)

    21 - Pasar a base 10 los siguientes números expresados como punto fijo sin signo (16 bits)

    1000000000101000

    0110100000010101

    1001111011010111

    0000000000010101

    22 - Pasar a Punto Flotante:

    39

    0,0103

    9F1

    9F3,G1

    -5826

    -0,00002103

    -74F28B

    -0,002A359


    23 - Decir que número decimal, representa el siguiente número expresado como Punto Flotante

    9 E C 1 9 3 5 F 16

    C D 9 4 0 1 0 3 16

    3 E A C 1 0 0 0 16

    A E 8 F 5 0 0 0 16


    [1] En todo sistema de numeración la base no aparece como dígito.

    [2] La idea de palabra queda de las antiguas computadoras con palabras de 8 bits, hoy existen máquinas cuya palabra es de 16, 32, 64 bits.

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