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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTóNOMA DE NICARAGUA
UNAN - MANAGUA
RECINTO UNIVERSITARIO "RUBÉN DARíO"
FACULTAD DE EDUCACIóN E IDIOMAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ASIGNATURA:
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
CONTENIDOS:
LINEALIDAD DE LA INTEGRAL DE LEBESGUE
TEOREMA DE BEPPO LEVI
LEMA DE FATUO
EXTENSIóN DE LA INTEGRAL DE LEBESGUE
ELABORADO POR:
Br. José David Alemán Pérez.
DOCENTE:
MSc. Iván Cisneros Díaz
MANAGUA 12 DE DICIEMBRE DE 2006
El siguiente informe consiste en presentar algunos resultados referentes a la integral de Lebesgue, a saber: linealidad de la integral de Lebesgue, el lema de Fatuo, el teorema de Beppo - Levi y la extensión de la integra de Lebesgue.
Inicio presentando, en lo que podríamos llamar primera sección, los resultados necesarios de teoría de la medida y de la integral de Lebesgue que serán de gran utilidad al momento de tratar lo tópicos que interesan en este documento.
A continuación, en nuestro desarrollo, en el orden dado se enuncian y demuestran los resultados que señalé anteriormente (en el primer párrafo) y que son los temas de interés en el presente trabajo.
Finalmente, en los anexos, se incluye la demostración de algunos de los teoremas aplicados en las pruebas del teorema de Beppo - Levi y / o lema de Fatuo, además de una demostración alternativa de la linealidad de la integral de Lebesgue.
Resumen................................................................................................................................ 1
Introducción........................................................................................................................... 3
Antecedentes........................................................................................................................ 4
Justificación........................................................................................................................... 9
Objetivos.............................................................................................................................. 10
Marco Teórico..................................................................................................................... 11
Lema de linealidad de la integral de Lebesgue......................................................... 12
Teorema de Beppo - Levi............................................................................................. 13
Lema de Fatuo............................................................................................................... 15
Extensión de la integral de Lebesgue.......................................................................... 16
Conclusiones...................................................................................................................... 17
Recomendaciones............................................................................................................. 18
Referencias......................................................................................................................... 19
Anexos............................................................................................................................... 20
Demostración de algunos teoremas.........................................................21
Breve reseña histórica acerca del concepto de medida.............................. 24
Existen diversos textos de Análisis matemático de distintos autores. Algunos tratan los temas de análisis a nivel de "cálculo superior", que no es más que una transición del cálculo elemental a cursos más avanzados de la teoría de las funciones real y compleja, introduciendo al lector en el pensamiento abstracto que ocupa el análisis moderno.
No obstante, es importante señalar, sin necesidad de especificar el nivel, que el análisis matemático estudia conceptos relacionados de alguna manera con los números reales, pero principalmente se interesa en las propiedades de éstos.
De igual forma, hay que advertir que, también es necesario estar familiarizados con la notación y la terminología de la teoría de conjuntos.
Dado que el presente trabajo trata de tópicos de análisis matemáticos, es necesario tener "buen dominio" acerca de las propiedades de los números reales y de algunos conceptos de la teoría de conjuntos, para una mejor comprensión del mismo.
A partir de este momento se supone que el lector está familiarizado con lo que se señaló anteriormente, además el lector debe manejar algunas ideas del cálculo elemental (sucesiones monótonas, funciones, límites, convergencia, integrales, entre otros), espacios métricos (conjuntos medibles, medida, etc). Algunas de estas ideas se exponen en este documento de manera pertinente, ya que son indispensables para tener bien claro la temática que nos interesa y que se emplearán en la demostración de los lemas y teoremas que nos ocupa.
El propósito de esta sección es presentar los conceptos y / o resultados (definiciones, teoremas, lemas, etc.) e ideas necesarias para cumplir con nuestro fin principal.
Es fácil observar que los contenidos a analizar en este trabajo forman parte de la teoría de la medida e integral de Lebesgue, la cual a su vez es una generalización (más flexible y mejor adaptada para tratar procesos de límites) de la integral de Riemann.
La idea principal de dicha generalización consiste en que: "la integral de Riemann de una función
Lebesgue descubrió que se obtenía una teoría de la integración completamente satisfactoria si se permitía que los conjuntos
Con esta idea en mente, a continuación procedo a formular algunas definiciones y teoremas pertenecientes a esta teoría.
Definición 1: (Espacios Medida) Un espacio medida es una terna
Debemos tener en cuenta que si
a)
b) Si A
c) Si A,B
(b) hace que (c) para uniones implique la intersección y viceversa. Al cumplirse dicha propiedad para familias numerables entonces
Además, una función
Un espacio medible
Definición 2: Para cualquier función medible no negativa
Definición 3: (Función Simple Medible) Una función simple es una función
Si
La función simple
(a) Sea
(b) Característica de un conjunto.
De esta definición tenemos que
Definición (Integral de Lebesgue): Si
Definición 4: (La integral de
Definición 5: (Definición alterna de función medible) Diremos que
Definición 6: (Sucesión Monótona) Sea
Definición 7: (Sucesión de Funciones) Una sucesión de funciones
Nota: La función
Sucesión de Funciones Medibles no Negativas: De manera deductiva (de las definiciones 5, 6, y 7) podemos decir que una sucesión de funciones medibles no negativas
Monotonía de Conjuntos: Sea
(i) Si A,B
(ii) Si
(iii) Si
Definición: Sea
Notación:
*
**
Teorema 1: Sea
(i) Si
(ii) Si
Ver la demostración en anexos.
Teorema 2: Sea
(i)
(ii)
(iii)
Teorema 3: (teorema de Lebesgue)
Si una sucesión
Usaremos este resultado (pero omitimos su demostración) para demostrar el teorema de Beppo - Levi. Para este mismo fin será necesario la siguiente:
Desigualdad de Chébishev: Si
Teorema 4: (Teorema de la Convergencia Monótona)
Ver demostración en anexos.
En todo curso de álgebra, cálculo, geometría e incluso de análisis matemático, se hace uso de resultados previos para fundamentar y / o justificar la teoría presentada en cada uno de ellos.
De la misma manera los nuevos resultados sirven para explicar y asentar nuevos conocimientos; esta es una de las formas por las cuales la matemática se ha desarrollado.
La importancia de este trabajo radica en dicho asunto: los resultados que se abordan servirán para estudiar, analizar y explicar otros conceptos e ideas del análisis matemático específicamente lo relacionado con la teoría de la medida e integral de Lebesgue.
Es importante, también, porque nos instruye y propicia el hábito de investigación.
General
Analizar algunos resultados relacionados con la teoría de la medida y la integral de Lebesgue.
Específicos
Antes de mostrar la linealidad de la integral de Lebesgue es importante enunciar el siguiente:
Lema 1: (Le llamaremos lema técnico) Sea
Ver demostración en anexos.
Tomando en cuenta el lema anterior vamos a enunciar el lema de linealidad de la integral de Lebesgue.
La integral de lebesgue es una aplicación lineal, esto es:
(i) Si
(ii)
Demostración:
(i) Sean
Si
Como
entonces
Siempre aplicando el lema técnico sabemos que existe una sucesión de funciones simples
de donde deducimos que
q.e.d
Supongamos que
Demostración:
Supongamos que
Consideremos el conjunto
Si
En virtud de la desigualdad de Chébishev,
Como
Hasta el momento hemos demostrado que la sucesión monótona
Sea ahora
Demostraremos la integrabilidad de
Denotemos por
Pongamos
Luego para todo
La acotación de estas sumas implica la convergencia de la serie:
Con esto hemos demostrado que
Si
Sea
Demostración:
Sea
Entonces
Analizaremos dos casos.
Caso 1:
De la definición (3) para algunos conjuntos medibles A, tenemos,
Escribamos
De esta manera
De aquí
Así,
Caso 2:
Escribamos
Como
=
Así,
Definición (i): Sea
Definición (ii):
Lema 2:
Demostración:
Por la definición (i) tenemos que
Por def. (i).
q.e.d.
Bibliografía
(i) APOSTOL, TOM. M. (1982). Análisis Matemático, 2da ed. Editorial Reverté, S.A.
(ii) DE BARRA, G (1974). Introduction to measure Theory. Van Nostrand Reinhold Company Ltd. University of London.
(iii) IVORRA CASTILLO, CARLOS (2004). Análisis Matemático. (libro electrónico, se puede descargar gratis en: http://www.sectormatematica.cl/libros.htm
(iv) KOLMOGOROV, A. N. (1972). Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional. Editorial Mir Moscú.
(v) RUDIN, WALTER (1979). Análisis Real y Complejo. Editorial Alambra, S. A.
Webgrafía
(i) http://www.mat.ucm.es/deptos/am/material-practicas/problemas-teoria-medida/indice.html
(ii) http://www.matematicas.net/paraiso/materia.php?id=ap_medida
(iii) http://www.lawebdefisica.com/apuntsmat/tm.pdf?selact=apuntes
(iv) http://kolmogorov.unex.es/~ricarfr/Tmedida/librotmed.pdf
(i) Escribir
Como se quería demostrar.
(ii) Tenemos
Pero por hipótesis
q.e.d.
Demostración del lema técnico
Sea
Así que:
es una función simple y positiva para cada n.
Para probar la monotonía, observemos que:
Porque:
Por tanto:
Y se sigue que:
Finalmente, para probar la convergencia a
Si por el contrario
Demostración del teorema de convergencia monótona
Observemos primero que
Además, si
Veamos la otra desigualdad, para ello seleccionamos una función simple arbitraria entre las que cumplen
Dado
1.
2.
3.
Además,
Por monotonía para conjuntos con respecto a la medida
Tomando el supremo sobre las funciones simples
Breve reseña histórica acerca de concepto de medida
El concepto de medida tiene una larga historia de más de 5000 años, que surge del manejo de longitudes, áreas y volúmenes fundamentalmente y de la necesidad de su cálculo. Estos tres ejemplos particulares de medidas son los que han servido como guıa para sacar a la luz el concepto que detrás de ellos se escondía.
Las primeras demostraciones satisfactorias de teoremas relativos a áreas y volúmenes aparecen en el libro de Euclides (300 a.c.?) "Los Elementos"(ver Van Dalen {Monna, p. 78 y Boyer, p. 129). Sin embargo en este libro no hay definición de longitud, área o volumen; Euclides las considera características que puede medir respectivamente en las figuras que si define:
Línea es una longitud sin anchura. (Libro I, Def.2).
Superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura (Libro I, Def.5).
Sólido es lo que tiene longitud, anchura y profundidad (Libro XI, Def.1).
Tampoco define que es medir, es una palabra que utiliza no sólo en estas tres "magnitudes", sino también en los números; por ejemplo en el libro VII, las definiciones 3 y 4 dicen:
3.- Un numero es parte de un numero, el menor del mayor, cuando mide al mayor.
4.- Pero partes cuando no lo mide. por ejemplo 3 es "parte"de 15 y 6 es "partes"de 15.
Las longitudes las daba en comparación con un segmento unidad, las áreas con un cuadrado unidad y los volúmenes con un cubo unidad, de este modo dio los valores correspondientes a figuras simples como polígonos y poliedros y demostró teoremas como el de Pitágoras. Otros autores griegos más que dar la medida de una figura daban resultados del tipo: A y B tienen igual área o volumen. Por ejemplo Arquímedes (287-212 a.c.) atribuye a Eudoxo (408-355 a.c.) la demostración de que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro de la misma base y altura. Esto sin conocer este volumen, para el que hace falta conocer el área del círculo, que descubrió casi 100 años después el propio Arquímedes demostrando que es el de un triángulo rectángulo con un cateto el radio y el otro la longitud de la circunferencia; suyo también es que el volumen de la esfera es 2=3 el volumen del cilindro o que el área de la esfera es la del cilindro circunscrito (ver Boyer, p.177). Para esta última, que demuestra en Sobre la esfera y el cilindro utiliza los axiomas de Euclides junto con cinco principios de los que destacan:
4.- Dos superficies que tienen los mismos límites en un plano son desiguales cuando ambas son cóncavas en la misma dirección y una de ellas está completamente limitada por la otra y por el plano que tiene los mismos límites que esta otra, o cuando una de ellas sólo está parcialmente limitada por la otra y el resto es común. La superficie limitada es la menor.
5.- Dadas dos líneas, dos superficies o dos sólidos desiguales, si el exceso de una de estas figuras sobre la otra se añade a sí mismo un cierto número de veces, se puede superar una u otra de las figuras que se comparan entre sí.
Así se mantuvieron mas o menos las cosas durante 2000 años, hasta que en 1883 G. Cantor (1845-1918) dio la primera definición de medida m(A) de un conjunto arbitrario (acotado)
Para ellas la propiedad aditiva de la medida m[A υ B] = m[A] + m[B], para conjuntos disjuntos A y B, se satisfacía si los conjuntos estaban "completamente separados", pero no en general, pues con sus definiciones un conjunto y su adherencia median lo mismo y por tanto los racionales y los irracionales de [0, 1] median 1, lo mismo que todo [0, 1].
En 1892 C. Jordan (1838-1922) dio una definición más simple utilizando una malla de cuadrados de igual lado, en lugar de polígonos, para aproximar el conjunto. Sin embargo estas definiciones eran pobres, pues por ejemplo con ellas los racionales ya no eran medibles.
E.Borel (1871-1956) dio, en su doctorado de 1894, el siguiente paso importante considerando la numerable aditividad para sus medidas. Además dio una definición razonable de conjuntos de medida nula, de hecho mientras que para sus antecesores los racionales de [0; 1] medían 1, Borel concluyó que medían menos que
Se sabía desde Cantor que todo abierto
En su Tesis de 1902 Lebesgue observa que por esta razón, diferenciación e integración no podían considerarse operaciones inversas en el contexto, relativamente amplio, de las funciones Riemann integrables. Este fue el motivo fundamental que le llevó a tratar de encontrar una noción de integración nueva, bajo la que derivación e integración sí fuesen operaciones inversas para una clase de funciones más amplia que las Riemann integrables. La idea principal de la integral de Lebesgue consiste en que, a diferencia de lo que ocurre en la integral de Riemann, los puntos se agrupen de acuerdo a la proximidad de los valores de la función a integrar y no de acuerdo a su proximidad en el conjunto de definición de la función, como hacía Riemann. Esto permite la posibilidad de extender, de forma inmediata, el concepto de integral a una clase muy amplia de funciones.
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José David Alemán Pérez
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